¿Si un anillo $A$ cada localización $A_\mathfrak{p}$ % prime $\mathfrak{p}\subseteq A$es noetheriano, es cierto que $A$ es noetheriano?
Creo que no pero no puedo encontrar un buen contraejemplo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Recordemos que un anillo Booleano si cada elemento es idempotente: para todos los $x \in R$, $x^2 = x$. Y, de hecho, un anillo Booleano es necesariamente conmutativo. Aquí hay dos bastante fácil hechos acerca de los anillos Booleanos (para las pruebas de véase, por ejemplo, la Sección 9 de estas notas):
Un anillo Booleano es Noetherian iff es finito.
Un anillo Booleano es local iff es un dominio iff es un ámbito en el iff es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
La combinación de estos hechos, uno ve que cualquier infinita Booleano anillo-por ejemplo, el producto de un número infinito de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -- no va a ser Noetherian pero en todas partes localmente Noetherian.
mzafrullah
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Si no te importa integral de los dominios de este enlace puede ayudarte. Esto es lo que me dijo que no.
Existen integral dominios $D$ tal que $D_M$ es un dominio de Dedekind para cada ideal maximal $M.$ Estos fueron llamados casi dominios de Dedekind por Robert en Gilmer Integral de los dominios que son casi Dedekind, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 15(1964) 813-818. Que algunos de estos dominios no son Noetherian también está indicado en la referencia anterior. Tenga en cuenta que (a) un dominio de Dedekind es Noetherian y (b) de casi un dominio de Dedekind es un unidimensional de Prüfer de dominio. (c) un dominio $D$ es Prüfer si cada finitely generado distinto de cero ideal de $D$ es invertible. Espero que esto ayude.
Muhammad
