Preguntas sobre Aleph-Aleph-Null

Question

Nota: me disculpo de antemano por no uso correcto de la notación en algunos de estos valores, pero esto es literalmente mi primer post en este sitio y no sé cómo mostrar estos valores correctamente.

Recientemente, yo estaba buscando datos sobre los diferentes cardinalidades de infinito para una idea del libro, cuando me encontré con un post hecho hace varios años sobre la $ℵ_{ℵ_0}$

Si el infinito cardenales de aleph null, aleph-dos, etc. continuar indefinidamente, ¿hay algún significado en la idea de aleph aleph-null?

En este post la gente se hable de la diferencia entre los números cardinales y cómo $ℵ_{ℵ_0}$ debería ser $ℵ_ω$. Las respuestas a los post, a continuación, hablar de $ℵ_{ω+1}$, $ℵ_{ω+2}$, y así sucesivamente.

De todos modos, mi comprensión de los diferentes valores de ℵ fue que correspondieron a las cardinalidades de los conjuntos infinitos, con $ℵ_0$ siendo la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y que si el conjunto X tiene cardinalidad de a$ℵ_a$, entonces la cardinalidad de la powerset de X se $ℵ_{a+1}$.

Con esto en mente, siempre me imaginaba que si un conjunto Y había cardinalidad $ℵ_0$, y que encontró su powerset y, a continuación, se encuentra el powerset de ese conjunto, y, a continuación, se encuentra el powerset de ESE conjunto, y se repite el proceso infinitamente desea obtener un conjunto de cardinalidad $ℵ_{ℵ_0}$.

Así que, supongo que mi pregunta es, en la discusión vinculada a la anterior, cuando la gente está hablando acerca de la $ℵ_{ω+1}$, ¿cómo es eso posible? Porque si usted toma un powerset un número infinito de veces, tomando uno de los más powerset es todavía sólo un número infinito de veces, ¿no?

Espero formulada esta pregunta de una manera que la gente va a entender, y gracias de antemano a ninguna pista que me puedan dar acerca de todo esto.

Answer 1

Ordinales no son cardenales.

Recordar Hilbert del hotel. Donde tienes infinidad de habitaciones, una para cada número natural, y están llenos. Y hay una fiesta, con todos los invitados. En algún momento, después de tantos bebidas, la gente necesita usar el baño.

De modo que si alguien va, e inmediatamente después de la otra persona llega y se encuentra en línea. Sólo tienen que esperar a la persona a salir, por lo que ha $0$ personas en frente de ellos, y luego otra persona viene y sólo tienen que esperar a $1$ persona en frente de ellos, y luego otro y otro y así sucesivamente. Que está bien. Pero la persona en el cuarto de baño había pasado, por desgracia, y todo el mundo es tan amable, por lo que sólo tiene que esperar en silencio. Y la cola se hace más largo.

Vamos para la concreción bien, hay que señalar que sólo las personas que se quedan en las habitaciones con un número de habitación de ir al baño. Los otros son igual de bien que lo sostiene. Ahora para cada $n$, hay alguien en la cola que se debe esperar por lo menos $n$ de las personas. La cola es infinita. Pero está bien, ya que cada persona sólo tiene que esperar una cantidad finita de tiempo para su turno.

Pero ¿qué es esto ahora? La persona en la sala de $3$ tiene que usar el inodoro. Pero ellos no pueden cortar en la línea, que sería de mala educación. Así que ellos están en la parte de atrás. Bien. Allí se $\aleph_0$ de las personas en la cola, que es cómo muchos, y hemos añadido uno más, así que todavía hay $\aleph_0$ de personas esperando en línea. Pero ahora tenemos una persona que tiene que esperar para infinidad de personas para ir delante de ellos. Así que la cola se ordena de una forma totalmente nueva. Si tenían suerte y alguien decidió hacerles la corte en la línea, a continuación, la cola se han analizado el mismo, sólo a partir de algún momento en que la gente tendría que esperar sólo una persona más, para ir de la primera.

Esto no es lo que sucedió, sin embargo. Así que la cola se ve diferente. Bien, ahora vamos a continuar, a todas las personas en la sala de los números que son potencias de $3$ a comenzar a seguir. Y en algún momento llegamos a una cola que se ve como dos copias de los números naturales cosido. Y, a continuación, el tipo de habitación $5$ se une a la línea, y que él tiene para dos para dos infinitas colas antes de su turno. Y así sucesivamente y así sucesivamente.

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Bien, ¿cuál es el punto de todo esto?

El punto es que para finito de las colas de la pregunta "¿cuántas personas" y "¿cómo es la cola ordenada" son la misma pregunta. Así que la adición de una persona no importa el lugar donde esta persona fue añadido a la cola. Pero cuando la cola era infinita, la adición de una persona a la final o su adición al medio gustaría mucho cambiar la cola de la orden. Así que "cuántos" ya no es el mismo como "¿cómo de larga es la cola".

Cuando se itera una operación transfinitely muchas veces, por ejemplo, por tomar el poder o en conjuntos de cardinal sucesores, trabajamos sucesivamente. Esto crea una cola-como la estructura de los cardenales. El primero, el segundo, etc., que son ordinales, números, hablan de la orden.

Así que una vez que usted va a través de lo finito, usted tiene que mover a infinito de los números ordinales, no infinito cardenales. Como tal, $\omega$ es la anotación apropiada, ya que denota un ordinal, en lugar de $\aleph_0$ lo que denota un cardenal.

Entre $\aleph_\omega$ e $\aleph_{\omega+1}$ hay similitudes: ambos tienen una infinidad de [infinito] los cardenales más pequeños que ellos. Pero no es el mismo, exactamente porque estamos tratando con la pregunta "¿cómo son estos ordenado" en lugar de "¿cuántos son".

_{Tenga en cuenta que $\aleph$ números no están definidas por conjuntos de poder, estos son $\beth$ números (Beth es la segunda letra del alfabeto hebreo, mientras que el Aleph es la primera). Pero esto es irrelevante para su pregunta.}

Answer 2

La razón por la que realmente debería ser $\aleph_\omega$ en lugar de $\aleph_{\aleph_0}$ es que pensamos que de $\aleph_\alpha$ para los números ordinales $\alpha$. Sí, $\aleph_0=\omega$, pero escribimos $\omega$ cuando pensamos en él como un ordinal en lugar de un cardenal.

El resto de la pregunta se basa en un malentendido fundamental: $\aleph_{\alpha+1}$ es no la cardinalidad de el juego de poder de $\aleph_\alpha$; lo que es el menor cardinal mayor que $\aleph_\alpha$.

Answer 3

Además de las respuestas, vamos a aclarar cómo la recursión transfinita define $\aleph_\alpha$ arbitrarias de los ordinales $\alpha$. Fr simplicidad voy a identificar cada una de aleph con el menor ordinal de la intención de la cardinalidad. Tenemos $\aleph_0:=\omega$, y para cualquier límite ordinal $\gamma\ne 0$ tenemos $\aleph_\gamma:=\bigcup_{\beta<\gamma}\aleph_\gamma$. Finalmente, $\aleph_{\alpha+1}$ es el Hartogs número de $\aleph_\alpha$, es decir, al menos ordinal que no puede ser inyectado en $\aleph_\alpha$. Recomiendo convencerte a ti mismo de $\aleph_\alpha$ puede ser inyectado en la $\aleph_\beta$ sólo si $\alpha=\beta\lor\alpha\in\beta$ (para los números ordinales usualmente escribimos esto como $\alpha\le\beta$), y, en particular, la comprensión de la prueba de que un número de Hartogs existe. Por lo tanto $\aleph_\omega<\aleph_{\omega+1}<\aleph_{\omega+2}<\cdots$.