Tengo este problema de mi hijo, y él la agarró de algunos locales de la competencia de matemáticas. Es bastante simple:
Para los números de $k,m,n\in N$ ($k\ge2)$ sabemos lo siguiente:
$$\left(\frac mn\right)^k=0.\overline{x_1x_2...x_9}\tag{1}$$
En el lado derecho tenemos una infintely secuencia repetitiva de exactamente nueve dígitos $x_i\in\{0,1,2,\dots9\}$ ($i=1\dots9)$ y estos dígitos no son necesariamente distintos. Encontrar todos los valores posibles de la expresión (1).
La solución parece sencilla: se puede sustituir la secuencia de repetición de dígitos con un número $a$:
$$a=\overline{x_1x_2...x_9}$$
La relación (1) se convierte ahora en:
$$\left(\frac mn\right)^k=\frac{a}{10^9-1}$$
$$m^k(10^9-1)=an^k$$
Si asumimos que $m$ e $n$ son coprime a continuación:
$$n^k\mid10^9-1$$
Si somos capaces de encontrar los factores primos de a$(10^9-1)$ rápidamente, hemos terminado. Cierto, podemos encontrar un par de factores primos de forma bastante sencilla:
$$10^9-1=(10^3)^3-1=(10^3-1)(10^6+10^3+1)=9\times111\times1001001 \\ =3^2\times3\times 37\times3\times333667=3^4\times37\times333667$$
Sin embargo, el último número (333667) es un hueso duro de roer. Se puede proceder sólo si conocemos sus factores.
Con la ayuda de la computadora que usted puede encontrar fácilmente que 333667 es un primer y el resto de la solución es bastante sencilla.
Sin embargo, supongamos que usted está en un verdadero concurso - usted no tiene una computadora o una calculadora de bolsillo. Factoring 333667 a mano es una pérdida de tiempo de actividad y tiene otros problemas que resolver así.
Hay un método mejor?
Felices fiestas :)
