Sobre automorfismos de grupos que se extienden como automorfismos a todos los grupos más grandes

Question

Para un grupo de $G$, vamos a $\operatorname{Aut}(G)$ denotar el grupo de todos los automorfismos de a$G$ e $\operatorname{Inn}(G)$ denotar el subgrupo de todos los autmorphisms que es de la forma $f_h(g)=hgh^{-1}, \forall g\in G$, donde $h\in G$ . Ahora si $G_1$ es un grupo que contiene a $G$ como un subgrupo, a continuación, todos los $f_h \in \operatorname{Inn}(G)$ se extiende a un interior automorphism de $G'$ como $f_h(x)=hxh^{-1},\forall x\in G_1$, en otras palabras, por cada $f\in \operatorname{Inn} (G)$ y cada grupo $G_1$ contiene $G$ como un subgrupo, $\exists \bar f\in \operatorname{Inn}(G_1) \subseteq \operatorname{Aut} (G_1)$ tal que $\bar f|_G =f$.

Ahora mi pregunta es : Vamos a $f \in \operatorname{Aut} (G)$ ser tal que para cada grupo de $G_1$ contiene $G$ como un subgrupo, $\exists \bar f\in \operatorname{Aut}(G_1)$ tal que $\bar f|_G =f$. Entonces es necesariamente cierto que $f \in \operatorname{Inn}(G)$ ? Si esto no es cierto en general, luego hace unos condición adicional en $G$ hace verdadera (como $G$ ser finito, o simple)?

Answer 1

Cómo sobre esto: Una Caracterización de Interior Automorfismos Pablo E. Schupp Actas de la Sociedad Matemática Americana Vol. 101, Nº 2 (Oct., 1987), pp 226-228

https://www.jstor.org/stable/2045986?seq=1#page_scan_tab_contents

Resumen: resulta que uno puede caracterizar interior de automorfismos sin mencionar cualquiera de conjugación o elementos específicos. Podemos demostrar el siguiente

TEOREMA Deje $G$ ser un grupo y vamos a $\alpha$ un automorphism de $G$. El automorphism $\alpha$ es un interior automorphism de $G$ si y sólo si $\alpha$ tiene la propiedad de que cada vez que $G$ está integrado en un grupo de $H$, a continuación, $\alpha$ se extiende a algunos automorphism de $H$.