Determinar si$f(z)=(1-e^{1/z})^{-1}$ es holomorfo

Question

Si permitimos que$$f(z)=(1-e^{1/z})^{-1} ,$$ where $ z$ is complex, I'm trying to use the Cauchy-Riemann equations to determine if $ f$ is holomorphic. So I need to separate it into real and imaginary functions of $ x% #% y$ and $ u (x, y)$ ($ v ( x, y) $ respectivamente), luego se diferencian parcialmente.

Hasta ahora tengo

PS

PS

Esto parece un poco una pesadilla para diferenciar 4 veces para una pequeña parte de una pregunta, ¿alguien puede ver cómo una forma más rápida de usar las ecuaciones de RC para determinar si$ , $ es holomorfo?

Answer 1

El OP obtuvo la respuesta de los consejos. Solo lo publicaré aquí para que esto tenga una respuesta aceptada.

Las composiciones de funciones holomorfas son holomorfas. Debido a que las funciones$z\mapsto 1-z$,$z\mapsto e^z$ y$z\mapsto 1/z$ son holomorfas (fuera de z = 0 para el último caso), encontramos que la función$f$ es holomorfas, siempre que sea definido Esto es para$z\not =0$ y$z\not= \frac{i}{2\pi n}$ con$n\not =0$ un entero.