¿Grupo de Galois de$\mathbb{Q}_{p}$ sobre$\mathbb{Q}$?

Question

Solicitud de referencia: ¿alguien tiene una referencia para estudiar la teoría de Galois de la extensión$\mathbb{Q}_{p}/\mathbb{Q}$? No puedo encontrar nada en él. Debe haber algo que decir, ya que estas son siempre extensiones no triviales.

Preguntas: ¿esta extensión es Galois para todos los primos? Supongo que no para el primer infinito; ¿Entonces es Galois en todos los números primos finitos? Digamos que arreglamos una prima,$p$; ¿Cuáles son las extensiones intermedias (finitas) de Galois$\mathbb{Q}\subseteq E \subseteq \mathbb{Q}_{p}$?

Answer 1

Deje $E/\mathbb{Q}$ ser una extensión finita y deje $\mathfrak{p}|p$ ser unramified en el anillo de enteros de $E$. Luego tenemos a la extensión de $E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p$ y podemos ver el grupo de $G(E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p)$ como un subgrupo de $G(E/\mathbb{Q})$, y se compone de los elementos $\sigma$, de modo que $\sigma(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$. Lo que podemos hacer es usar $G(E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p)$ como un subgrupo de $G(E/\mathbb{Q})$ a, en cierto modo, medir el "$p$-adicness" de la extensión de $E$. Esto se hace mediante la búsqueda de cuánto de $E$ está contenido en $\mathbb{Q}_p$.

Definir el campo de $E(\mathfrak{p})/\mathbb{Q}$ a ser el campo fijo de $G(E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p)$ cuando se ve como un subgrupo de $G(E/\mathbb{Q})$. A continuación, $E(\mathfrak{p})$ es el campo más dentro de $E$ (hasta conjugación) que se incrusta en $\mathbb{Q}_p$ (es un simple ejercicio para probar esto). Esto reduce el problema de encontrar cuánto $E$ está contenido en $\mathbb{Q}_p$ a la cuestión de la búsqueda de $G(E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p)$ como un subgrupo de $G(E/\mathbb{Q})$. Este es generalmente relegado a la búsqueda de un Frobenius para la extensión de $\mathfrak{p}|p$. En particular, se deduce que el $E$ sí está contenida en $\mathbb{Q}_p$ si y sólo si $p$ se divide completamente en $E$.

Como corolario, una extensión cuadrática $E=\mathbb{Q}\left(\sqrt{(-1)^{(q-1)/2}q}\right)$ está contenido en $\mathbb{Q}_p$ si y sólo si $p$ es una ecuación cuadrática de residuos de mod $q$. Además, para una arbitraria de Galois de la extensión, tenemos $E(\mathfrak{p})=\mathbb{Q}$ si y sólo si $G(E_{\mathfrak{p}}/\mathbb{Q}_p)=G(E/\mathbb{Q})$. Esto sólo puede suceder si $p$ es completamente inerte en la extensión de $E/\mathbb{Q}$. Pero, esto sólo puede ocurrir cuando la $E/\mathbb{Q}$ es cíclica (ver Aquí). Por lo tanto, cada no cíclicos extensión de $E/\mathbb{Q}$ tendrá compartir algunos no trivial de campo con $\mathbb{Q}_p$ para cualquier prime que no se ramifican.

Esto nos permite entonces, no sólo encontrar las extensiones contenida en $\mathbb{Q}_p$, como MatheinBoulomenos hizo, sino también para extraer la máxima subextension de $E/\mathbb{Q}$ que está contenida en $\mathbb{Q}_p$.

Answer 2

Mientras que $\mathbb{Q}_p / \mathbb{Q}$ no es algebraico, como se ha mencionado en los comentarios, la pregunta "¿cuáles son los intermedios (finito) de las extensiones de Galois $\mathbb{Q}\subseteq E \subseteq \mathbb{Q}_{p}$?" todavía tiene sentido.

No hay ninguna razón para restringir a uno mismo para las extensiones de Galois en el siguiente argumento, así que voy a describir lo finito extensiones $\mathbb Q \subseteq E \subseteq \mathbb{Q}_p$.

Supongamos $\mathbb{Q} \subset E$ es una extensión finita. Deje $\mathfrak{p}_1, \dots , \mathfrak{p}_n$ ser el primer ideales por encima de $(p)$$\mathcal{O}_E$.
Estos son en bijection a las extensiones de la $p$-ádico de valoración a $E$. Para cada $\mathfrak{p}_i$, podemos completar la $E$ con respecto a la valoración asociada a $\mathfrak{p}_i$, lo que nos da una extensión finita $E_i$$\Bbb Q_p$. Uno puede demostrar que $[E_i:\Bbb Q_p]=e(\mathfrak{p}_i/( p)) f(\mathfrak{p}_i/(p))$ where $f$ and $e$ son ramificación índice y grado de inercia, respectivamente.

Si fijamos una clausura algebraica $\overline{\Bbb Q_p}$, $p$- ádico de valoración en $\Bbb Q_p$ se extiende únicamente a $\overline{\Bbb Q_p}$. Como se mencionó en el párrafo anterior, obtenemos incrustaciones $E \to \overline{\Bbb Q_p}$ por cada $\mathfrak{p_i}$ (o, equivalentemente, para cada extensión de la $p$-ádico de valoración a $E$.) A partir de estas incrustaciones, podemos reconstruir la valoración (sólo restringir la valoración de $\overline{\Bbb Q_p}$), por lo que tenemos bijections

$$\{ \text{prime ideals in }\mathcal{O}_E \text{ above }(p)\} \leftrightarrow \{ \text{extensions of }v_p\text{ to $E$}\} \leftrightarrow\{\text{embeddings } E \to \overline{\Bbb Q_p}\}$$

Y el grado de la extensión está dada por $(\mathfrak{p}_i/( p)) f(\mathfrak{p}_i/(p))$.

De ello se deduce que el número de incrustaciones $E \to \Bbb{Q}_p$ es igual a la cantidad del primer ideales $\mathfrak{p}$ $\mathcal{O}_E$ sobre $(p)$ que satisfacer $e(\mathfrak{p}/(p))=f(\mathfrak{p}/(p))=1$

Esto describe toda finito intermedio extensiones $\Bbb Q \subset E \subset \Bbb{Q}_p$ y, por extensión, todos los intermedios que son extensiones algebraicas sobre $\Bbb Q$.

Como por intermedio de las extensiones de trascendental $\Bbb Q$, hay un montón, como $\Bbb Q_p$ tiene innumerables trascendencia grado por encima del $\Bbb Q$, pero no estoy seguro de si se puede decir algo más acerca de ellos.

Answer 3

Respecto a la "teoría de Galois para $\mathbf Q_p/\mathbf Q$", debemos aclarar primero la definición de una extensión normal de los campos de $M/K$, si es algebraica o trascendente. Siguiente E. Artin, vamos a $G=Gal(M/K)$ (o $Aut(M/K))$ ser el grupo de automorfismos de a$M$, que fijan cada elemento de a $K$. A continuación, $M/K$ se llama normal iff $K=M^G:=$ el subcampo de $M$ fijo elementwise por todos los $G$. Vamos ahora a determinar $G=Gal(\mathbf Q_p/\mathbf Q)$. Como se ha señalado por Lubin, $G= (1)$ porque cada $s \in G$ es continua w.r.t. el $p$-ádico métrica. Prueba : basta demostrar que para cualquier $\in \mathbf Z_p , v_p (s(x))=v_p (x)$. Pero $x$ puede ser el único escrito $x=up^n$ donde $u$ $p$- ádico de la unidad, y $s(u)$ $p$- ádico de la unidad debido a $s$ es un automorphism (esto es puramente algebraica). Desde $G$ corrige $\mathbf Q$, va a solucionar $\mathbf Q_p$ por la continuidad, por lo $G=(1)$, y la extensión no es normal. Véase también la ref. dada por Watson.

Relativas a la existencia, para un determinado $p$, finito de extensiones de $\mathbf Q$ "contenidos" en $\mathbf Q_p$ (con un ligero abuso de lenguaje : uno debe hablar de "incrustar" en lugar de "contención"), la respuesta es "sí": estos son exactamente los campos de número de $K$ grado $n$ tales que el primer $p$ se divide totalmente en $K$, es decir, para que $n$ distintos primer ideales $v$ $K$ se encuentran por encima de $p$ (necesariamente con la inercia del índice y la ramificación de índice igual a $1$), o, equivalentemente, las terminaciones $K_v$ $K$ w.r.t. todos los lugares $v$ dividiendo $p$ son igual a $\mathbf Q_p$. En realidad, más de un número fijo de campo $k$, finita de Galois extensiones $K$ son determinados por la división de números primos en $K/k$ en el siguiente sentido preciso : vamos a $S$ ser un conjunto finito de números primos de $k$ y denotan por $Spl_S(K/k)$ el conjunto de los números primos $v\notin S$ s.t. $v$ se divide completamente en $K$; tenga en cuenta que este conjunto tiene una densidad de $[K:k]^{-1}$ por Tchebotarev del teorema. Entonces, para dos extensiones de Galois $K$$L$$k$, uno ha $K=L$ fib $Spl_S(K/k)=Spl_S(L/k)$. Ver, por ejemplo, Cassels-Fröhlich , ejercicio 6.1.

El problema sigue siendo para caracterizar $Spl_S(K/k)$ en alguna manera. No se sabe mucho en general, pero para un abelian $K/k$, el trabajo se realiza, en principio, por la CFT. Más de $k=\mathbf Q$, la de Kronecker-Weber teorema es suficiente. Fix $p$ , vamos a $q$ ser cualquier extraño prime $\neq p$, e introducir el cyclotomic campo $\mathbf Q(\zeta_q)$, que es una extensión cíclica de $\mathbf Q$ grado $(q-1)$; para cualquier divisor $d$$(q-1)$, denotan por $K_d$ el único subextension de $\mathbf Q(\zeta_q)/\mathbf Q$ grado $d$. A continuación, $p$ se divide completamente en $K_d$ fib $p$ $d$- ésima potencia de mod $q$. NB : en una extensión de Galois $K/k$, si el primer $v$ $k$ es inerte en $K$, $Gal(K/k)$ es cíclico. Ver a Marcus, cap. 4, ex. 5 (a), o la ref. dada por @CW .