Cuando un$\Psi$ - el espacio es metrizable

Question

Deje $I$ un conjunto tal que $I\cap \omega = \emptyset$$|I|\leq 2^\omega$. Dado casi la desunión de la familia $\mathcal A = \{A_i: i\in I \} \subset [\omega]^\omega$, el espacio de $\Psi( \mathcal A)$ está definido por $\Psi( \mathcal A) \doteq \omega \cup I$ y la topología define de la siguiente manera:

1. $\{n\}$ es un conjunto abierto, para todos los $n\in \omega$;
2. Para todos $i\in I$, $B\in cof(A_i)$, $\{i\}\cup B$ está abierto.

Es recta foward para comprobar que $\Psi(\mathcal A)$ es de Hausdorff localmente compacto, primero contables, cero-dimensional y separables.Estoy tratando de probar lo siguiente:

$\Psi(\mathcal A)$ es un espacio metrizable $\iff$ $I$ es contable

He no la primera parte de la siguiente manera:

$(\implies)$ Si $\Psi(\mathcal A)$ es metrizable, ya que es separable, $\Psi(\mathcal A)$ es segundo contable así. Luego de ello se desprende que la base definido anteriormente contiene una contables base $\mathcal C$. Por lo tanto, $I \subset \mathcal C$ es contable.

Yo no podía probar la otra implicación y necesito una guía para ello.

Answer 1

El conjunto$I$ está cerrado y es discreto (como un subespacio), por lo que$w(\Psi(\mathcal{A})) \ge w(I) = |I|$, mientras que$d(\Psi(\mathcal{A})) = \omega$ y$d(X) = w(X)$ para espacios metestables. Esto muestra que metrisable implica$I$ contable, y lo contrario es solo el teorema de metrisación de Urysohn, como lo señala @ViniciusRodriguez.

Answer 2

Cada punto de$\Psi(\mathcal A)$ tiene una base contable. Si$\mathcal A$ es contable, también lo es$\Psi(\mathcal A)$, por lo tanto,$\Psi(\mathcal A)$ es el segundo contable. Dado que es Hausdorff y localmente compacto, es regular, y cada segundo espacio contable regular de Hausdorff es metrizable.