¿Cuál es el propósito de enfatizar que una acción es invariante bajo el difeomorfismo?

Question

Cuando el aprendizaje de la teoría de campo y la teoría de las cuerdas, siempre veo los físicos de estrés el hecho de que la acción, que es una parte integral de la densidad Lagrangiana $S(x)=\int L(x,\dot{x})dt$, es invariante bajo diffeomorphism. Por ejemplo, en la teoría de cuerdas, la gente siempre dice que el Polyakov acción es invariante bajo worldsheet diffeomorphisms.

Yo no entiendo por qué esto es importante porque como yo lo veo, las integrales definidas para ser independiente de la elección de coordenadas y acciones son trivialmente invariantes bajo diffeomorphism. Puede mostrarme un ejemplo de acción que no es invariante bajo diffeomorphism?

Answer 1

Después de revisar el libro "la Geometría Diferencial y la Mentira de los Grupos para los Físicos' de Marian Fecko en la sección 16.4.1, creo que estoy cerca de la comprensión de lo que los físicos decir por la invariancia de una acción bajo diffeomorphism. En lo que sigue, voy a explicar Mariano Fecko la discusión sobre diffeomorphism la invariancia de una acción.

Considere la posibilidad de un clásico de la teoría de campo de $\phi$ en un colector de Riemann $(M,g)$ donde $g_{ab}$ es su métrica. Decimos que la acción natural con respecto a diffeomorphism en el siguiente sentido.

Vamos a definir un diferencial de la forma $\Omega[\phi,g]$ se define a través de la acción $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{D}L(\phi,\nabla\phi,g)\omega_{g}$$ donde $D\subset M$ es un submanifold y $\omega_{g}$ es la forma de volumen en $D$ asociado con la métrica $g$.

Entonces vamos a asumir que la variación de los campos y la variación de las coordenadas espacio-tiempo se desvanecen en el límite $\partial D$. En terminología matemática, este requisito corresponde a un flujo de $\Psi_{t}:M\rightarrow M$ que es arbitrario dentro de$D$, pero se desvanece en $\partial D$.

Podemos decir que la acción es invariante (o natural), bajo la diffeomorphism $\Psi_{t}$ si el pull-back satisface $$\Psi_{t}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Omega[\Psi_{t}^{\ast}(\phi),\Psi_{t}^{\ast}(g)].$$

En virtud de dicho requisito, ya que el flujo no mover los puntos sobre la frontera, en virtud de cualquier cantidad infinitesimal de variación $\Psi_{\epsilon}$ generado por un campo de vectores $V$$M$,$\Psi_{\epsilon}(D)=D$. De ello se sigue que $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Omega[\phi,g]=\int_{D}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])$$ $$=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])$$ $$=\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon),$$ donde $\mathcal{L}_{V}$ es la Mentira derivado a lo largo del flujo, y hemos utilizado la integración por sustitución en la primera línea. Desde la clásica de campos debe ser en la cáscara, $\phi$ extremizes la acción $S[\phi,g]$. Entonces tenemos $$\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g].$$ y así $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon).$$ Por lo tanto, por definición de energía-impulso del tensor, tenemos $$S[\phi,g]=S[\phi,g]-\epsilon\int_{D}\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}+o(\epsilon),$$ y así $$\int_{D}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}=0,$$ para cualquier variación $\delta g$, llegamos a la conclusión de que la energía-momentum se conserva es decir $\nabla_{a}T^{ab}=0$.

En resumen, la diffeomorphism la invariancia de una acción es una condición imprescindible para la conservación de la energía-impulso del tensor del sistema.

Espero que este puede contribuir a la comprensión de aquellos que alguna vez también fueron confundidos por ella. Bienvenido a aclarar los errores y malentendidos que tengo.

Answer 2

Quizás un simple ejemplo sea el siguiente: la acción para una partícula libre no relativista.

PS

No es una forma invariante en tiempo-reparametrizations

PS

En contraste, se cree que la física fundamental moderna (como, por ejemplo, la teoría de cuerdas) es geométrica, y se espera que la formulación de la acción sea reparametrización e invariable de difeomorfismo.

Answer 3

En un sentido usted está completamente a la derecha: las integrales son invariantes bajo cambios de variables. Pero en la física hay un punto esencial, a menudo no hincapié en que, sea cual sea la función está integrando es dada por una fórmula que debería funcionar en todos los sistemas de coordenadas.

En otras palabras, para hacer un cambio de variables correctamente, deberá incluir un Jacobiano. Pero desde un punto de vista físico, para incluir una Jacobiana es saber qué sistema de coordenadas está en el; de lo contrario, ¿cómo saber que usted debe incluir una verificación Jacobiana? Así, en nuestra integrales queremos que el Jacobiano ser la unidad; en un colector general esto se hace conectando el factor de $\sqrt{-g}$.

Permítanme darles un ejemplo. Supongamos que tenemos la integral de la $\int_0^1\int_0^1\ dx\ dy$, y digamos que su resultado es físicamente significativa. Vamos a hacer un cambio de coordenadas $x = x'^2$: de acuerdo con el cambio de variables teorema, nuestra integral se escribe ahora como $\int_0^1\int_0^1 2x'\ dx'\ dy$. Aunque el resultado es el mismo, la integral no es invariante, porque necesito saber qué coordenadas estoy usando para saber si debo incluir el $2x'$. La fórmula original se supone que funcionan de la misma en todos los sistemas de coordenadas.

La función en sí mismo debe ser invariante, y este es otro lugar donde los físicos y los matemáticos usan la misma palabra para cosas diferentes. Para nosotros es un escalar no es sólo un número; se supone que debe ser la misma en todos los sistemas de coordenadas. Usted puede quejarse de que un número como $4$ es la misma en todos los sistemas de coordenadas, pero de nuevo: en la física de nuestras funciones están definidas por las fórmulas, y la misma fórmula que funcione para todos, no importa lo que sus coordenadas son. Por ejemplo, si usted tiene una de 2 dimensiones del colector con las coordenadas $(x,y)$ y tiene la función de $f(x,y)=x$, entonces esta función no es un escalar! El cálculo en coordenadas diferentes va a dar resultados diferentes.