¿Cuál es la diferencia entre totalmente acotado y uniformemente acotado?

Question

¿Puede alguien explicarme cuál es la diferencia entre funciones totalmente acotadas y uniformemente acotadas?

Answer 1

Para ilustrar los conceptos, considero funciones reales en una variable real en lo siguiente. Por supuesto, esto se traslada a contextos arbitrariamente generalizados (dominios en $\mathbb{R}^n$ (espacios métricos, espacios de Banach, lo que sea).

Una sola función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es acotado si existe una constante $C\ge 0$ tal que $|f(x)|\le C$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

El término uniformemente acotado sólo tiene sentido si se considera un objeto que depende de al menos un parámetro adicional, por ejemplo, una secuencia de funciones $(f_k)_k$ ( $f_k(x)$ depende del índice $k$ y en $x$ ).

Una secuencia $(f_k:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R})_k$ de las funciones es uniformemente acotado si existe una constante $C\ge 0$ s.t. para todos $k$ tenemos $|f_k(x)|\le C$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Lo importante aquí es que C no depende de $x$ . Esto es lo que la palabra uniformemente significa.

Por el contrario, dicha secuencia es acotado (puntualmente) si para todo $x\in\mathbb{R}$ existe una constante $C=C(x)\ge 0$ tal que $|f_k(x)|\le C$ para todos $k$ . Aquí, $C$ depende de $x$ .