¿Es la lógica de segundo orden incluso una lógica?

Question

De segundo orden de la lógica es un lenguaje, pero es una lógica?

Mi entendimiento es que una lógica (o la "lógica del sistema") es un par ordenado; es un sistema formal junto con una semántica. Sin embargo, el lenguaje de segundo orden, la lógica se asocia con una variedad de no equivalentes de sistemas formal y una variedad de semántica. Por lo tanto, es una lógica?

Yo creo que no. Suponiendo que no, ¿qué frases como la siguiente (copiado de la wikipedia) significa?

De segundo orden de la lógica, por ejemplo, no tiene un teorema de completitud por su nivel de la semántica (pero no tienen la integridad de la propiedad para la semántica de Henkin).

Answer 1

Esta es una muy interesante pregunta filosófica! Hay filósofos en ambos lados de la cuestión. Una figura prominente que hablaba en contra de SOL como de la lógica de W. V. O. Quine. Su argumento se centra principalmente en el punto de que el SOL, en el que se cuantifica sobre los conjuntos explícitamente, parece ser sólo "la teoría de conjuntos en un disfraz", y por lo tanto no la lógica adecuada (ver su Filosofía de la Lógica para obtener más detalles). Las personas también han presentado el argumento presentado, a saber. cualquier supuesta lógica debe tener una sólida y completa del sistema de deducción para ser una verdadera lógica, y desde que el SOL no tiene una, se sigue que no puede ser lógica.

Por otro lado, un destacado defensor de SOL, como la lógica apropiada es George Boolos. Ver su "Segundo Orden de la Lógica" y su "ser es Ser el Valor de una Variable (O Sea que Algunos de los Valores de Algunas Variables)". Un argumento esgrimido en favor de SOL desde un punto de vista práctico es que tiene una manera de realmente acortamiento de las pruebas (ver "Un Curioso Inferencia"). Boolos también sugiere que podríamos utilizar monádico SOL para modelar hablar de los plurales, es decir, para el modelo de frases como "Algunos críticos sólo admirar el uno al otro". Otro gran defensor de SOL se Stewart Shapiro, cuyo libro de las Fundaciones Sin Fundacionalismo no sólo presenta un maravilloso tratamiento técnico de SOL, pero también algunas buenas filosófica de las defensas de la misma. En particular, Shapiro sostiene que el SOL es necesario para el día a día el discurso matemático. Yo altamente recomiendo este libro como una introducción al tema, tanto de forma matemática y la filosofía.

El estado de integridad teoremas en este debate es fascinante, pero difícil de precisar. Después de todo, muchos filósofos sólo podría decir: "Mira, ¿qué tal si el SOL está incompleto? Esto sólo significa que el conjunto de validities no coincide con el conjunto de comprobable oraciones, es decir, hay algunas frases que son lógicamente verdaderas, pero no demostrable. Y si esto es lamentable, ¿por qué no deberíamos esperar de esto? ¿Por qué no acabamos de aceptar que la lógica no resultan de la manera que esperaba?" Por otra parte, muchos filósofos podría decir: "Mira, la lógica es acerca de hacer inferencias. Si hay verdades que no provienen de alguna deducción o inferencia, entonces ¿cómo podrían ser las verdades de la lógica?"

Personalmente, no he encontrado el punto de vista que la verdadera lógica debe de tener la prueba de los sistemas de convencer (o al menos lo suficientemente convincente), pero que sin duda lo hacen sentir el tirón de la búsqueda para/trabajar con lógicas completa con los sistemas de prueba. En última instancia, todo se reduce a lo que usted piensa "lógica" y la "consecuencia lógica", que son muy polémicos en la filosofía de la literatura, y que no tienen ampliamente aceptado respuestas.

Answer 2

De segundo orden, la lógica tiene una colección de reglas de deducción. A partir de una colección de declaraciones, podemos aplicar la deducción de reglas para derivar nuevas declaraciones. Esto se llama "sintáctico de la vinculación", o más simplemente, "la prueba formal".

Estándar semántica habla sobre el conjunto de la teoría de las interpretaciones con la propiedad de que el poder de los tipos se interpretan como conjuntos de poder. por ejemplo, si $X$ es la interpretación del dominio de los objetos, $\mathcal{P}(X)$ (o, equivalentemente, $\{T,F\}^X$) es la interpretación de la dominio de los predicados unarios sobre los objetos.

Dada una colección de declaraciones, podemos considerar el conjunto teórico de los modelos de esas declaraciones; las interpretaciones donde esas declaraciones son verdaderas. El uso de las leyes de ZFC, uno puede mostrar que las interpretaciones de los enunciados son verdaderos en todos los modelos. Esto se llama "semántica vinculación".

El teorema de la incompletitud es que la vinculación sintáctica y semántica vinculación (con el estándar de la semántica) no coinciden de segundo orden de la lógica. (Que hacer coincidir para la lógica de primer orden!)

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Por cierto, la lógica de primer orden también tiene variaciones. por ejemplo, en el sintáctico lado, se puede generalizar a "libre de la lógica" (que, en algunos lugares es lo que la gente quiere decir cuando dicen que "la lógica de primer orden"), y la gente suele considerar diversas restringido fragmentos de ella como "regular lógica" o "teorías algebraicas". En la semántica lado, podemos considerar las interpretaciones en términos de las poleas o los objetos en categorías, en lugar de en grupos.