Anillo local con intersección de potencias de su principal ideal máximo cero.

Question

En una prueba de álgebra se presentó el siguiente problema:

Cualquier anillo local conmutativo$(R,m)$ con$m$ principal para que$⋂_{i≥0}m^i =0$ sea noetheriano y cada ideal distinto de cero $R$% es una potencia de$m$.

Se podría demostrar (suponiendo que$R$ sea noetheriano) que cada ideal distinto de cero, que se genera de forma definitiva, es un subconjunto de una potencia de$m$. ¿Podría alguien ser tan amable como para dar algunas sugerencias. Greateful!

Answer 1

Deje que$I$ sea un ideal de$R$,$I\ne 0,R$. Entonces$I\subseteq m$, pero$I$ no puede estar contenido en todos los poderes de$m$, de lo contrario$I=0$, contradicción. Entonces hay un mayor$i\ge 1$ tal que$I\subseteq m^i$, y por lo tanto$I\not\subseteq m^{i+1}$. Vamos a mostrar que$I=m^i$. Ya que$I\not\subseteq m^{i+1}$ hay$a\in I-m^{i+1}$. Si$m=(\pi)$, entonces$a=\pi^ia'$. Como$a\notin m^{i+1}$ obtenemos$a'\notin m$, por lo que$a'$ es invertible. De$a=\pi^ia'$ obtenemos ahora que$\pi^i\in I$ y por lo tanto$I=m^i$.