Si $G$ es un grupo de clase de nilpotencia 3 entonces $G'$ es abeliano

Question

Si $G$ es un grupo de clase de nilpotencia 3 entonces podemos decir $G'$ ¿es un grupo abeliano? ¿Esta pregunta es verdadera? ( $G'$ se deriva de $G$ .)

Answer 1

Sí, es un hecho general que si $L_{i}(G)$ denota el $i$ -ésimo término de la serie central inferior de un grupo $G,$ entonces $[L_{i}(G),L_{j}(G)] \leq L_{i+j}(G).$ Si $G$ tiene clase de nilpotencia $3,$ entonces $L_{4}(G) =1,$ y $G^{\prime} = L_{2}(G),$ por lo que encontramos que $[G^{\prime},G^{\prime}] = 1$ , es decir $G^{\prime}$ es abeliano, para tal grupo.