Si está familiarizado con las álgebras de Lie y la teoría de la representación, entonces puede saltarse mi introducción y obtener el derecho a las dos preguntas (conjeturas) en la final. Es posible que sólo necesita leer el siguiente párrafo, donde defino $h$, $x$, e $y$.
Recordemos que $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es la Mentira de álgebra de $2$a$2$ traceless matrices de más de $\mathbb{C}$. Deje $\{h,x,y\}$ ser $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-triple, que es, $\{h,x,y\}$ es una base de las tres dimensiones $\mathbb{C}$-espacio vectorial $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ tales que $$[x,y]=h\,,\,\, [h,x]=+2x\,,\text{ and }[h,y]=-2y\,,$$ where $[\_,\_]$ is the Lie bracket of $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Con un adecuado cambio de base, basta decir que $$h=\begin{bmatrix}+1&0\\0&-1\end{bmatrix}\,,\,\,x=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\,,\text{ and }y=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\,.$$
Un (a la izquierda) representación $V$ de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es dado. Que es, $V$ es $\mathbb{C}$-espacio vectorial equipado con un unitaria de la izquierda $\mathfrak{U}\big(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\big)$-estructura del módulo, donde $\mathfrak{U}\big(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\big)$ es el universal que envuelve el álgebra de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Por lo tanto, para $a,b\in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ e $v\in V$, $$[a,b]\cdot v=a\cdot(b\cdot v)-b\cdot(a\cdot v)\,,$$ donde $\cdot:\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\times V\to V$ es el $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-acción en $V$.
Un ejemplo de una representación de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ está dado por $V:=\mathbb{C}[s,t]$, en el que $x$, $y$, e $h$ actuar en $\mathbb{C}[s,t]$ como sigue: $$(x\cdot f)(s,t):=s\,\frac{\partial}{\partial t}\,f(s,t)$$ $$(y\cdot f)(s,t):=t\,\frac{\partial}{\partial s}\,f(s,t)$$ y $$(h\cdot f)(s,t):=s\,\frac{\partial}{\partial s}\,f(s,t)-t\,\frac{\partial}{\partial t}\,f(s,t)\,,$$ para todos los $f(s,t)\in \mathbb{C}[s,t]$. Tenga en cuenta que el subespacio $\mathbb{C}_k[s,t]$ de $\mathbb{C}[s,t]$ de polinomios homogéneos de grado $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ es $(k+1)$-dimensionl irreductible representación de $\mathbb{C}[s,t]$, y $$\mathbb{C}[s,t]=\bigoplus_{k=0}^\infty\,\mathbb{C}_k[s,t]$$ es una descomposición de la $\mathbb{C}[s,t]$ en una suma directa de representaciones irreducibles. Cada finito-dimensional irreductible representación de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es isomorfo a algunos $\mathbb{C}_k[s,t]$. Observar que $x^{k+1}$ e $y^{k+1}$ son el operador cero en $\mathbb{C}_k[s,t]$, pero $x^k$ e $y^k$ son cero. Por lo tanto, en $\mathbb{C}_k[s,t]$, $x$ e $y$ tienen el mismo nilpotency índice, que es $k+1$.
Tenga en cuenta también que las acciones de $x$ e $y$ son tanto nilpotent en cualquier finito-dimensional representación de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ (debido a que este tipo de representación puede ser escrita como una suma directa de un número finito finito-dimensional representaciones irreducibles). El nilpotency índice de $x$ es igual a la nilpotency índice de $y$ en cualquier finito-dimensional representación de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Sabemos que $x$ e $y$ no necesita actuar nilpotently (o localmente nilpotently) en una de las infinitas dimensiones de la representación (ver aquí). Sin embargo, ¿qué sucede si $x$ o $y$ es nilpotent operador? Qué significa que ambos son nilpotent operadores, y cuando es así, hacer su nilpotency índices conincide? Además, ¿cuáles son todas las representaciones de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ tal que $x$ e $y$ son nilpotent operadores? Es decir, es la siguiente conjetura verdadera?
Conjetura I. la acción de La $x$ en representación $V$ de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es nilpotent si y sólo si la acción de $y$ a $V$ también es nilpotent. En tales casos, el nilpotency índice de $x$ es el mismo que el nilpotency índice de $y$. Por último, si $p\in\mathbb{Z}_{>0}$ es el nilpotency índice de $x$, $V$ es isomorfo a una suma directa de $\mathbb{C}_k[s,t]$, donde $k\in\{0,1,2,\ldots,p-1\}$, con al menos una copia de $\mathbb{C}_{p-1}[s,t]$ (la multiplicidad de cada una de las $\mathbb{C}_k[s,t]$ puede ser de cualquier cardenal).
Recordemos que un localmente nilpotent lineal operador $\phi$ a $V$ es un operador lineal tal que, para cada una de las $v\in V$, existe un entero positivo $m(v)$ dependiendo $v$ tal que $\phi^{m(v)}(v)=0$, donde $\phi^{j}$ indica el $j$-ésima iteración de $\phi$. Sabemos también por aquí que $x$ e $y$ puede o no puede ser localmente nilpotent. Lo que es más importante, una de las $x$ e $y$ puede ser localmente nilpotent, y el otro no es localmente nilpotent a todos. Sin embargo, ¿qué sucede si $x$ e $y$ son localmente nilpotent? Es la siguiente conjetura verdadera?
Conjetura II. Si tanto $x$ e $y$ son localmente nilpotent de los operadores sobre una representación $V$ de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, a continuación, $V$ es isomorfo a una suma directa de finito-dimensional representaciones irreducibles $\mathbb{C}_k[s,t]$ de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, es decir, $V$ es un integrable $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-módulo.
El $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-módulo de $V$ es integrable si es un $h$-peso $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-módulo tal que $x$ e $y$ son localmente nilpotent. Sabemos que un integrable $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es una suma directa de finito-dimensional de representaciones irreducibles. Sin embargo, en la conjetura anterior, no asumo que $V$ es un módulo de peso con respecto a $h$.
