¿Es cada función continua medible?

Question

En la no-Hausdorff topología es estándar para definir el álgebra de Borel de un espacio topológico $X$ $\sigma$- álgebra generada por los subconjuntos abiertos y el pacto saturada subconjuntos. Recordemos que un subconjunto es saturado si se trata de una intersección de los subconjuntos abiertos, y que compacta saturada de subconjuntos de jugar el papel de subconjuntos compactos cuando el espacio $X$ no $T_1$ (que normalmente es el caso de un conjunto parcialmente ordenado equipadas con Scott topología, por ejemplo).

En esta situación, para una función continua $f : X \to Y$ entre espacios topológicos, es $f$ necesariamente medibles?

Esta pregunta es equivalente a la siguiente. Si escribimos $\uparrow y$ por la intersección de todos los subconjuntos que contienen $y$, que pasa a ser el compacto saturada, es verdad eso de $f^{-1}(\uparrow y)$ es medibles para todos los $y \in Y$?

Muchas gracias por su ayuda. Pablo

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Edit: esta pregunta ha sido migrado a MathOverflow, ver aquí.

Answer 1

Sea$X$ un espacio topológico con un conjunto compacto, saturado, no abierto$S$ y$Z$, un espacio que no es en sí mismo la unión de muchos subconjuntos compactos. Considere la proyección$X \times Z \to X$. Sospecho que la imagen inversa$S \times Z$ no se comportará como se esperaba. Pienso que sería como usted quería bajo el producto de álgebra de Borel pero no bajo el de álgebra de Borel asociado a la topología del producto.

O me estoy perdiendo algo.

Answer 2

Me gustaría completar mi pregunta con los siguientes elementos.

Si $Y$$T_1$, entonces cada subconjunto $\uparrow y$ es cerrado (que coincide con el singleton $\{ y \}$ que sí coincide con su cierre), de manera que el mapa continuo $f : X \to Y$ es medible.

Si $Y$ es de primera contables, a continuación, cada subconjunto $\uparrow y$ puede ser escrito como una contables de intersección de los subconjuntos abiertos, así que de nuevo $f$ es medible.

Si $f$ es abierto y bijective, uno puede demostrar que la inversa de la imagen de $\uparrow y$ es de la forma $\uparrow x$, $x \in X$, por lo $f$ es medible.

Qué sabemos de otras situaciones? (condiciones suficientes en $X$, $Y$ o $f$ a fin de $f$ ser medibles?)