¿La suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bronceado n}{n^2}$ convergen?

Question

¿La suma de $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bronceado n}{n^2}$$ convergen?

Answer 1

nota

$$ \cos(x) = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{4x^2}{\pi^2(2n-1)^2}\right) $$

entonces $$ \log(\cos(x)) = \sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{4x^2}{\pi^2(2n-1)^2}\right) $$ lo que da $$ =-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k x^{2k}}{\pi^{2k}{k} \ {(2n-1)}^{2k}} $$ suma más de n de los rendimientos $$ =-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\xi(2k)}\ 4^k x^{2k}}{\pi^{2k}{k}} $$ donde $ \xi(s) = \zeta(s)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)$ y $\zeta(s)$ es la de Riemann Zeta Función. Derivación en ambos lados con respecto a $x$ rendimientos $$ -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\xi(2k)}\ 4^kx^{2k-1}}{\pi^{2k}} $$ La cancelación de la negativa, dividiendo por $x^2$, y sumando más de $x$ da $$ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{\tan(x)}{x^2} = 2\sum_{x=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\xi(2k)}\ 4^k x^{2k-3}}{\pi^{2k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{\xi(2k)} \zeta(3-2k)\ 4^{k}}{\pi^{2k}} $$ En $k = 1$ tenemos $\zeta(3 - 2(1)) = \zeta(1) = \infty \por lo tanto$ el R. H. S divergentes.

Answer 2

Puede ser útil para comparar los otros dos, de forma similar, la serie. Mathworld da definiciones y análisis de la Cookson Hill y Flint Hill de la serie, que se define como la infinita suma de $\frac{\s^2 n}{n^3}$ y $\frac{\csc^2 n}{n^3}$, respectivamente. El artículo para el Flint Hill serie de enlaces a un artículo de M. A. Alekseyev en arxiv.org, que demuestra el general de convergencia de dicha serie puede estar vinculado a la irracionalidad de la medida de $\pi$. Dándole un vistazo rápido, esto podría ser útil para esbozar una prueba en la que uno podría enlazado tan(x) con otras funciones trigonométricas y, a continuación, determinar cuáles son las implicaciones que tal delimitación tendría en $\mu(\pi)$, y luego determinar si es o no satisface el actual mejor delimitador (alrededor de 7,5, si mal no recuerdo), caso en el cual la serie converge, o si no la cumple, en cuyo caso el problema es indeterminado ahora.