Declaraciones sobre la función con integral finito sobre$[0, \inf[$

Question

Deje $f: [0, \infty[\to[0, \infty[$ ser una función continua tal que: $$\int_0^\infty f(x) dx < \infty$$ Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

• La secuencia de $\{f(n)\}_{n\in\mathbb{N}} $ está acotada.
• $f(n) \to 0$ $n\to \infty $
• La serie $\sum_{n=1}^\infty es convergente.

Intuitivamente me siento cada una de las opciones es verdadera.

Para (a),si $f(n)$ es ilimitado,ya que $f$ es no negativo,la integral no puede ser finito. Para (b),si $f(n)$ no tienden a $0$,luego de nuevo la integral no puede ser finito. Para (c),ya que la serie debería tomar un valor menor o igual a la integral de la $f$,la serie debe ser convergente(ya que las sumas parciales debe estar acotada).

Sin embargo, la respuesta dice que ninguna de las opciones son correctas! A donde voy mal?

Answer 1

Componga la función$f$ de la siguiente manera (para$n\in\mathbb N, n\ge 2$):

• $f(n)=n$
• Lineal en$[n-\frac{1}{n^3}, n]$ para que$f(n-\frac{1}{n^3})=0$
• Lineal en$[n, n+\frac{1}{n^3}]$ para que$f(n+\frac{1}{n^3})=0$
• $f(x)=0$ de lo contrario.

En otras palabras, en cada$n\ge 2$, la función tiene un "pico" de altura$n$, ancho$\frac{2}{n^3}$ y área$\frac{1}{n^2}$.

Tal función es un contraejemplo obvio para las tres declaraciones, pero$\int_0^{\infty}f(t)dt=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ - (absolutamente) convergente.

Answer 2

A grandes rasgos, el contraejemplo es una función que tiene un montón de altura delgada picos, pero es de cero en otro lugar.

Explícitamente, considere la posibilidad de $$f(x) = \begin{cases}n & x \in [n, n+\frac{1}{n^3}) \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Se quejan de que esto no es continua, sino que intuitivamente puede "suavizar" para obtener una similar continua ejemplo.

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Explícitamente, vamos a $g(x)$ ser una "tienda de campaña", función o un "bache" de la función apoyado en $[-1,1]$ tal que $\int_{-1}^1 g(x) \mathop{dx} = c$$g(0) = 1$. A continuación, considere la posibilidad de $$f(x) = \sum_{n \ge 1} n \cdot g(n^3 (x - n)).$$ Creo que, a continuación,$\int_0^\infty f(x) \mathop{dx} = c \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2} < \infty$, e $f(n)=n$. Puedo estar equivocado en los cálculos específicos, pero esperemos que la intuición es clara. Otros ms responden han proporcionado ejemplos más explícitos para usted...

Answer 3

$a)$ En las palabras de angryavian (que elimina su respuesta), considerar como un contraejemplo de una función que tiene infinitamente numerosas, finas púas, progresivamente los picos más altos y es cero en otro lugar. La altura de los picos es ilimitado, pero el ancho en la parte inferior de cada pico podría hacerse lo suficientemente pequeño como para hacer que el área bajo la $k^{th}$ pico igual a $\dfrac {1}{2^k}$, de modo que la integral es $\dfrac 12 + \dfrac 14 + \dfrac 18 + \cdots$ que es finito.

$b)$ La misma función que en $a$. Vemos que para que la función, el límite no existe.

$c)$ Misma función que, de nuevo, sólo hace que los picos de infinitamente muchos de los picos en los enteros.

Answer 4

Sugerencia: Comience considerando la función $$ f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n \ chi _ {[\, n-1 / (2 ^ nn), n +1 / (2 ^ nn) \ ,]} (x), $$ ¿Cómo se ve la gráfica de$f$? La función$f$ no es continua, pero puede modificarse ligeramente para que sea continua (solo "cambia los rectángulos por triángulos"). ¿Por qué es un contraejemplo?

[Aquí$\chi_A(x)$ denota la función característica del conjunto$A$; es decir, es la función cuyo valor en$A$ es$1$ si$x\in A$, y$0$ de lo contrario.]