Supongamos que tengo dos funciones de distribución$f, g: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$, es decir, no decreciente, derecha continua con$\underset{t\rightarrow \infty}{\lim} = 1, \underset{t\rightarrow - \infty}{\lim}= 0$. ¿Por qué la medida dada por el producto de las funciones de distribución obedece a la regla de Leibniz:$d(f\cdot g)=g df + f dg$? Por$df$ me refiero a la medida de Borel dada al asignar la medida$f(b)-f(a)$ al intervalo$(a,b]$.
Respuesta
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Deje $X$ tienen el CDF $F_X$. Entonces la integral de la $\int h(x) d F_X(x)$ es para ser entendido como $E [ h(X)]$.
Ahora supongamos que $X$ e e $Y$ son independientes con CDF $F$ $G$ respectivamente. A continuación, $Z= \max (X,Y)$ ha CDF $FG$. Por lo tanto,
$$ \int h(z) d FG (z) = E [ h(Z) ] .$$
Ahora
\begin{align} E [ h(Z) ] &= E [ h(X), Y\le X]+ E [ h(Y) ,X < Y] \end{align}
Acondicionado en $X$, luego de tomar la expectativa, tenemos
$$E [ h(X) ,Y \le X] = E [ h(X)G(X)] .$$
Del mismo modo,
$$E [ h(Y),X<Y] = E[h(Y) F(X-)],$$
donde $F(x-)$ es el límite por la izquierda de $F$$x$.
La reescritura de la por encima de las expectativas como las integrales obtenemos
$$ \int h(z) d FG(z) = \int h(z)G(z) d F(z) + \int h(z) F(z-) d G(z).$$
Por lo tanto,
$$ d FG (z) = G(z) d F(z)+ F(z-) d G(z).$$
Si $F$ es continuo,$F(z-)=F(z)$.
Nota. El mismo argumento con funciones de $X$ $Y$ intercambiarse da
$$ d FG (z) = F(z) d G(z)+ G(z-) d F(z).$$
Por lo tanto, siempre $F$ o $G$ son continuos, hemos
$$ d FG (z) = F(z) d G(z) + G(z) d F(z).$$
Por último, el ejercicio: ¿cuál es el significado de la izquierda límite ? Cuando se hace realmente importa ?
