Cómo mostrar$Ha\cap Hb=\emptyset$

Question

Mi pregunta es la siguiente. He dejado que$H\le G, a,b\in G$ defina$Hx=\{hx|h\in H\}$ Mostrar que$Ha=Hb$ o$Ha\cap Hb=\emptyset$.

Pensé que haría una prueba por contradicción. Así que supongamos que$Ha\cap Hb$ no es vacío. Luego existe un elemento$x$ tal que$x\in Ha$ y$ x\in Hb$ Por lo tanto, podemos escribir$x$ como$$x=h_1a,\text{ and } x=h_2b$ $ Luego$h_1a=h_2b$ y por lo tanto$a=h_1^{-1}h_2b$.

Aquí es donde me estoy quedando atascado. Simplemente no sé cómo mostrar que existe una contradicción.

Answer 1

Si quiere probar eso por contradicción, debe asumir que$Ha\cap Hb\notin\lbrace \emptyset, G \rbrace$.

Pasando desde donde te quedaste atascado:$a=h_1^{-1}h_2b$ implica$Ha\subseteq Hb$ y multiplicando desde la izquierda con$h_2^{-1}h_1$ da$b=h_2^{-1}h_1a$ y por lo tanto$Hb\subseteq Ha$. La combinación de las dos inclusiones da$Ha=Hb$. Contradicción.