Monomorfismos y epimorfismos en la categoría de álgebras booleanas

Question

Un álgebra booleana es un anillo con unidad cuyos elementos son idempotentes. Consideramos un anillo cero $0$ como un álgebra booleana. Sea $\mathcal{B}$ sea la categoría de las álgebras booleanas. Un morfismo en $\mathcal{B}$ es un homomorfismo de anillos que preserva la unidad. Es un monomorfismo en $\mathcal{B}$ ¿siempre es inyectiva? ¿Es un epimorfismo en $\mathcal{B}$ ¿siempre es subjetivo?

Answer 1

En la categoría de álgebras booleanas, los epimorfismos son suryentes. Véase B. Banaschewski, "On the strong amalgamation of Boolean algebras", Algebra universalis 63, pp. 235-238 (2010)

Answer 2

En cualquier categoría algebraica los monomorfismos son inyectivos, porque el functor olvidador a la categoría de conjuntos tiene un adjunto izquierdo (el álgebra libre sobre un conjunto dado) y por tanto preserva los monomorfismos. En el caso de los anillos booleanos, el anillo booleano libre sobre un generador es $\mathbb{F}_2[x]/(x^2-x) \cong \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2$ y, por tanto, el anillo booleano libre sobre un conjunto $B$ es $\bigotimes_{b \in B} \mathbb{F}_2[x]/(x^2-x)$ donde este es el producto tensorial (posiblemente infinito) como $\mathbb{F}_2$ -algebras, que es aquí también el coproducto en la categoría de anillos booleanos.

Ahora mismo no sé si los epimorfismos son sobreyectivos, pero usando la dualidad de Stone esto es equivalente a una cuestión topológica pura: Si $A$ es un subespacio cerrado de un espacio Hausdorff compacto totalmente desconectado $X$ ¿todo subconjunto abierto-cerrado de $A$ se eleva a un subconjunto abierto-cerrado de $X$ ? Si no recuerdo mal, hay contraejemplos (exóticos).