Estoy tratando de encontrar la serie MacLaurin para lo siguiente:
$$\frac{1}{(1+2z)^2}$$
Lo que intento hacer es tomar la integral de eso, encontrar la serie de Maclaurin y luego derivarla, pero no estoy seguro de que eso sea válido para este tipo de series.
Aquí está mi intento:
$$\int{f(z)} =\int{\frac{1}{(1+2z)^2}dz} = - \frac{1}{2+4z}$$
luego trato de ampliarlo:
$$\frac{1}{2+4z} = \frac{1}{1+(1+4z)}$$
tomando $r =(-1)(1+4z)$
$$f(z) = \frac{d}{dz}(- \frac{1}{2+4z}) = -\frac{d}{dz}(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^k(1+4z)^k)$$
Y derivando
Obtengo el resultado
$$f(z) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k+1}k(1+4z)^{k-1}$$
No se ve bien, y no estoy muy seguro si puedo hacer esto (integrar y luego derivar) como lo hago con las series de Laurent. No es una tarea sino parte de mis ejercicios que estoy usando para estudiar para un examen.
