Cómo construir un mínimo de polinomio?

Question

Esta es una pregunta de examen de último semestre.

Tenemos el campo finito $$ \mathbb F_{81} = \mathbb Z_3 [x]/(x^4+x^2+x+1)$$

(a) Probar que el polinomio $$ x^4+x^2+x+1 $$ es irreductible

(b) Construya el polinomio mínimo del elemento $$ x^3+x^2+x+1 \space\epsilon\space Z_3 [x]/(x^4+x^2+x+1)$$
Uso y formal de la variable en dicho polinomio. Sugerencia: el uso de $$ x^3+x^2+x+1 = (x^2+1)(x+1) $$ debe ayudar con los cálculos. (c) Construir el subcampo F9 en $$ Z_3 [x]/(x^4+x^2+x+1)$$

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He intentado una y creo que se puede demostrar mostrando el polinomio no tiene Ceros? Así, suponiendo que llamamos el polinomio g(x). Acabo de lleno en {0,1,2} y ninguno de ellos dio 0 --> no Se puede dividir el polinomio en polinomios de orden inferior -> es irreducible?

No sé cómo hacer b y c, aunque. Por favor alguien puede decirme cómo hacerlo, en general, y lo que la solución está aquí? Realmente necesita la respuesta.

Answer 1

Para (un), un reducible polinomio de grado 4 debe tener ya sea lineal o cuadrática factores. Tener lineal de factores es lo mismo que tener una raíz, y es fácil de conectar en $0,1,$ $2$ y ver que no son raíces del polinomio. Por lo tanto, debemos verificar que

$$x^4+x^2+x+1 \neq (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+\ldots +bd$$

para cualquier elección de $a,b,c,d\in \mathbb{F}_3$. Si hemos tenido la igualdad, luego el $x^3$ plazo nos dice $a=-c$ y el término constante nos dice $b=1/d$ por lo tanto $b=d=1$ o $b=d=-1$. En plena expansión, tenemos

$$ (x^2+ax+b)(x^2-ax+b)=x^4+(2b-a^2)x^2+b^2 $$

que tiene cero $x$ plazo, y por lo tanto no puede igualar $x^4+x^2+x+1$.

Para (b), tenemos que encontrar la menor relación lineal sobre $\mathbb{F}_3$ entre los poderes de $y=(x^2+1)(x+1)$ modulo $x^4+x^2+x+1$. En primer lugar, tomamos nota de que debido a que nuestro campo es un espacio vectorial sobre el campo generado por $y$, el mínimo polinomio tendrá grado $1$, $2$, o $4$.

Uno puede calcular que $y^2\equiv x^3+x^2+x-1\pmod{x^4+x^2+x+1}$$\mathbb{F}_3$, y por lo tanto $y^2+2=y$ es el polinomio mínimo de a $y$. Es de suponer que el de la factorización de ayuda para hacer el cálculo a mano.

Para (c), ya que el polinomio mínimo de a $y$ es cuadrática, el subcampo generado por $y$ es isomorfo a $\mathbb{F}_9$.

Answer 2

Ya que no tiene ceros en $\mathbb{F}_3$, no tiene factores lineales.

Para mostrar que no tiene factores cuadráticos, establecer un sistema de ecuaciones a partir de:

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2+x+1$$

y usted encontrará que, mediante la resolución de este sistema, que el sistema es inconsistente.

Por lo tanto no tiene factores cuadráticos, y es irreductible.

Answer 3

Usted puede resolver el problema de encontrar el mínimo polinomio, por "la eliminación de la teoría". Al hacerlo, puede utilizar bases de Grobner herramienta fácilmente como sigue:

1 - Vamos a $I=\langle y-(x^3+x^2+x+1) , x^4+x^2+x+1 \rangle \subset \mathbb{Z}_3[x,y]$,

2 - Calcular un Grobner base, $G$ $I$ w.r.t. un lexicográfico del orden de las $y \prec x$,

3 - Encontrar el polinomio $f$, por lo que $\{f\} = G \cap \Bbb{Z}_3[y]$.

A continuación, $f$ es el polinomio mínimo de a $x^3+x^2+x+1$.

Usted puede hacer estos cálculos con un sistema de álgebra computacional como el Arce, Singular o Magma.

Answer 4

Realmente no hay un buen humanos-ejecutable algoritmo para el mayor de los casos, en general, pero en pequeñas casos podemos tener éxito.

Como ya se ha comentado, se debe comprobar que el $f(x)=x^4+x^2+x+1$ ha ha lineal ni cuadrática factor. Ya probado por lineal de los factores por las pruebas de raíces de $f(x)=0$$\mathbb F_3$, y no hay ninguno. De hecho, $0$ no es una raíz, y de la no-cero $\alpha$ en $\mathbb F_3$, $\alpha^2=1$, por lo $f(\alpha)=1+1+\alpha+1=\alpha\not=0$.

Del mismo modo, desde la $\mathbb F_9^\times$ es cíclico de orden 8, distinto de cero elementos satisfacer $\alpha^8=1$, y observar que $x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)$, convenientemente dos cuárticas, que nos puede jugar en contra de $f(x)$. Por ejemplo, si $f(\alpha)=0$$\alpha^4+1=0$, la resta, la obtención de $\alpha^2+\alpha=0$, pero esto tiene sus raíces $-1$$0$, que ya estaban excluidos. Si $f(\alpha)=0$$\alpha^4-1=0$, dado que ya hemos excluido $\alpha^2-1=0$, necesariamente,$\alpha^2+1=0$, y restamos $\alpha^2$ veces esta de $f(\alpha)$, obteniendo $\alpha+1=0$, que ya hemos excluido.

Obviamente, esta idea podría ser implementado en algún software matemático, pero sería tedioso (y los errores) para ejecutar con la mano.

Answer 5

Voy a responder sólo (b). Por abuso de notación, escribiremos $x$ para la imagen de $x$$\mathbb{Z}_3[x]/(x^4 + x^2 + x + 1)$.

Deje $y = x^3 + x^2 + x + 1$.

Desde $y = (x^2 + 1)(x + 1)$, $y^2 = (x^2 + 1)^2(x + 1)^2$.

Por lo tanto $y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)^2(x + 1)^2 = (-x + x^2)(x + 1)^2 = x(x - 1)(x + 1)^2 = x(x^2 - 1)(x + 1) = x(x^3 + x^2 - x - 1) = x^4 + x^3 -x^2 - x$

$= x^3 - 2x^2 -2x - 1 = x^3 + x^2 + x - 1$.

Por lo tanto $y^2 + 2 = y$. Desde $y$ no está contenida en $\mathbb{F}_3$, $Y^2 - Y - 1$ es el polinomio mínimo de a$y$$\mathbb{F}_3$.