Solucionar $(y+ x^3y + 2x^2)dx + (x + 4xy^4+ 8y^3)dy = 0$

Question

Básicamente traté de grupo de los términos ydx + xdy es un perfecto diferencial, pero yo no podía pensar en un método de ($x^3$y)dx + (4x$y^4$)dy . También dividiendo por xy no me ayudan.

Answer 1

$$(y+ x^3y + 2x^2)\text{d}x + (x + 4xy^4+ 8y^3)\text{d}y = 0$$

$$\Rightarrow (y\text{d}x + x\text{d}y)+ x^3y\text{d}x + (2x^2\text{d}x) + 4xy^4\text{d}y+ (8y^3\text{d}y) = 0$$

$$\Rightarrow \text{d}(xy)+ (x^3y\text{d}x + 4xy^4\text{d}y) + \frac{2}{3}\text{d}(x^3) + 2\text{d}(y^4) = 0$$

$$\Rightarrow \text{d}(xy)+ xy(x^2\text{d}x + 4y^3\text{d}y) + \frac{2}{3}\text{d}(x^3) + 2\text{d}(y^4) = 0$$

$$\Rightarrow \text{d}(xy)+ xy(\frac{\text{d}(x^3)}3 + \text{d}(y^4)) + \frac{2}{3}\text{d}(x^3) + 2\text{d}(y^4) = 0$$

$$\Rightarrow \text{d}(xy)+ \frac{(xy+2)}3\text{d}(x^3) + (xy+2)\text{d}(y^4) = 0$$

$$\Rightarrow \text{d}(xy)+ (xy+2)(\frac{1}3\text{d}(x^3) + \text{d}(y^4)) = 0$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}(xy)}{(xy+2)}+ \frac{1}3\text{d}(x^3) + \text{d}(y^4) = 0$$

$$\Rightarrow \ln(xy+2)+ \frac{1}3x^3 + y^4 = C$$

Answer 2

Implícita la solución está dada por Wolfram Alpha:

$$ \frac13 x^3 + y^4 + \log(x y + 2) = c $$

Dado que esto no puede ser resuelto por $y$, supongo que más progreso va a ser difícil.