Es posible evitar totalmente coordenadas Cartesianas?

Question

Creo que esta pregunta es más filosófica que la matemática, aunque puedo estar equivocado, probablemente es sólo una estúpida falta de comprensión. De todos modos, si no te importa, por favor, lea la pregunta con cuidado para obtener el sentido de lo que yo estoy pidiendo. Es un poco difícil de expresar.

Los tensores y la geometría diferencial considerar oblicuo (no ortogonal) e incluso curvilíneo "ejes" o vectores de la base. Pero, la base de vectores propios debe ser expresado de alguna manera. ¿Esto requiere ir de nuevo a algunos subyacente "maestro" ortogonal (Cartesiano) sistema de coordenadas?

Aquí hay dos ejemplos de mi rompecabezas.

Ejemplo 1.

Un vector $\mathbf{v}$ puede ser escrita en términos de las coordenadas Cartesianas como $$ \mathbf{v} = v^k \mathbf{e}_k $$ donde $e_k$ son regulares vectores de la base (en el caso 3D, (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)). Un vector también puede ser escrita en términos de una arbitraria no ortogonal del sistema como por ejemplo $$ \mathbf{v} = w^k \mathbf{u}_k $$ Supongamos que $w^k$ se dan. Para saber el vector, tenemos que saber cuáles son los vectores $\mathbf{u}_k$, y estos tendrían que ser especificado en términos de un activo subyacente sistema de coordenadas Cartesianas, por ejemplo $$ \mathbf{u}_2 = (0.3, 0.799, -0.1) $$ o en términos de algún otro sistema de coordenadas, que a su vez(!) (la posibilidad de la regresión infinita aquí) tendrían que especificarse, finalmente, en términos del sistema de coordenadas Cartesianas?

Supongo que si el otro sistema de coordenadas es un físico determinada cosa (líneas dibujadas por los extranjeros en el desierto) a continuación, puede evitar el problema.

Ejemplo 2.

En Susskind de la Teoría General de Einstein de la Relatividad | Lección 5
https://www.youtube.com/watch?v=WtPtxz3ef8U alrededor de las 18:30 se describe por qué la derivada de las componentes de un tensor no son en sí mismos un tensor, dando el ejemplo de un campo de constante-dirección-y-constante de la magnitud de los vectores. Los derivados de los componentes de estos vectores w.r.t. cartesiano de ejes son cero, pero los derivados w.r.t la variación espacial de los ejes no son cero.

Aquí tenemos algunos de los vectores, los cuales parecen estar apuntando en la misma dirección, y medir mediante subyacente ejes, que ciertamente parece ser curva. Pero ¿cómo sabemos que los vectores apuntan en la misma dirección, y los ejes se curva y no de la otra manera? En el diario vivir, por supuesto que puedo ver que lo que había dibujado en la pizarra era recta/curva, pero eso no es una respuesta científica. No es necesario medir con respecto a algún otro sistema de coordenadas, y no que uno sea...(con el tiempo)...Cartesiano?

Nota, parece que alguien en la clase fue posiblemente esta pregunta alrededor de las 18:30, pero el profesor cierra la pregunta.

EDIT: a Ver los primeros 3 respuestas, está claro que no me di a explicar la pregunta... o de lo contrario la pregunta es una tontería. Tengo miedo de que me estoy perdiendo algo muy fundamental! Sorprendente sin embargo. La idea de base es algo que he utilizado con éxito en varios ejercicios y la naturaleza es el segundo en este punto.

Answer 1

Creo que hay una línea muy fina entre lo que es una coordenada de tratamiento libre de conceptos (que creo que es sobre todo lo que está después), y la precisión. En mi opinión, coordinar los tratamientos son excelentes para la comprensión y el encaje de conceptos de alto nivel, mientras que ser bastante engorroso para los cálculos explícitos, mientras que de coordenadas basado en cálculos son a menudo mucho más rápido y fácil.

Para el primer ejemplo, un vector es molesto para el pin de abajo sin coordenadas, por ejemplo, $\mathbb{R}^2$. Esto es debido a que no había ningún extra estructura en el espacio. Sin embargo, lineal mapas en el espacio puede ser, con frecuencia, sin ambigüedades, sin coordenadas, por ejemplo

• El mapa de identidad.
• El cero mapa.
• La escala del mapa cada vector por 2.
• El mapa de la rotación $\pi/2$ en sentido antihorario.

Podemos hacer algunos cálculos explícitos con algunos de estos, por ejemplo, que el último mapa de $r$ satisface $r^2 = -1$, por lo que su polinomio característico debe ser $r^2 + 1$, desde el cual podemos ver no tiene autovalores. En ningún momento he necesitado usar cualquier base aquí.

Para el segundo ejemplo, tenga en cuenta que los vectores son siempre rectos - esto es parte de lo que es ser un vector: se comporta como una "escalera" de la cosa en virtud de la suma y la multiplicación escalar. Si tengo un vector en un punto en cualquier sistema de coordenadas (incluso una curva), y la escala es por $2$, lo que significa que sus coordenadas son escaladas por $2$. El marco (colección de coordenadas de los vectores) pueden cambiar de un punto a otro, pero se mantiene constante en un punto. La tangente paquete es un buen ejemplo de esto: el espacio es curvo, pero los vectores de considerar en un punto que se encuentran atrapados dentro de un buen comportamiento de espacio vectorial.

Finalmente, la geometría diferencial se realiza en una real o complejo colector, donde cada parche de espacio se ve localmente como $\mathbb{R}^n$. De modo que la definición de un colector tiene espacio Euclidiano "al horno", por lo que siempre será capaz de expresar las cosas como eventualmente coordenadas cartesianas si se toma lo suficientemente pequeños parches. Pero eso no significa que todo el colector se ve como el espacio Cartesiano.

Answer 2

Parece que usted está tratando de llegar a la distinción entre el diferencial de la topología y la geometría diferencial.

En cada campo, una $n$-colector es un espacio topológico localmente basa en abrir los subconjuntos de Cartesiano $n$-espacio. En ese sentido, es posible que exista un "modelo estándar", y cálculos que implican tensor de campos (funciones, campos vectoriales, el diferencial de formas, métricas de Riemann, etc.) puede ser expresado en coordenadas locales, que bien podemos tomar para ser el estándar de coordenadas Cartesianas.

La sutil distinción es, en topología diferencial la única conceptos significativos son aquellos independientes del sistema de coordenadas. Esta límites de los objetos de consideración para la primera derivada (la tangente paquete, campos vectoriales) y exterior de cálculo (diferencial de las formas, en el exterior de derivados, y la integración de las formas). Si la memoria sirve, Spivak la Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Volumen I se analizan los aspectos técnicos legible detalle. (Dato curioso: En un suave colector, una función suave no tiene invariante de la segunda derivada. Hay, sin embargo, un significativo noción de índice de Hesse en un punto crítico, que es todo lo que Morse teoría requiere.)

En geometría diferencial, por el contrario, uno corrige una métrica y, en consecuencia, restringe la noción de diferenciación exigiendo adecuado de compatibilidad con la métrica. La resultante de la diferenciación covariante tiene sentido para cualquier tensor de campos.

No miré el vinculado Susskind conferencia, pero la diferenciación covariante de manera significativa puede distinguir entre la "recta de vectores, curvas de ejes" y "curva vectores, rectas ejes". Esto es parte de lo que se entiende por "la métrica determina la geometría": un concepto físico, tales como "derecho" no tiene sentido en un suave colector, sólo con respecto a una métrica.

(En riesgo de la auto-promoción, relacionados con cuestiones son abordadas en mi respuesta a Lo que hace la integral de su posición con respecto al tiempo de decir?.)

Answer 3

Usted escribe:

or in terms of some other coordinate system, which in turn(!) (possibility of
infinite regress here) would need to be specified eventually in terms of the
Cartesian coordinate system?

Esto en realidad no es necesario. Considere la posibilidad de su primer ejemplo:

Un vector de v se puede escribir en términos de las coordenadas Cartesianas como v=$v^k$ $e_k$

Pero entonces, ¿qué es $e_k$ a ser escrito en términos de? Respuesta: NADA - esto es tomado como un primitivo. Del mismo modo, no es NECESARIO especificar el determinado sistema de coordenadas en términos de otra; puede simplemente tomar sus elementos primitivos, y la razón directamente a través de esos elementos primitivos. Por supuesto, como dicen los demás, desde una perspectiva pragmática, ciertas cosas pueden ser más fáciles de calcular en un sistema de coordenadas diferente.