Vector de probabilidad invariante

Question

Estoy leyendo mi libro de texto, Introducción a los procesos estocásticos (Lawler), antes de que comience el semestre con la esperanza de salir adelante, y me he encontrado con algo que simplemente no puedo resolver: Cómo calcular el vector de probabilidad invariante para una matriz de transición. Esperaba que uno (o muchos) de ustedes pudiera guiarme sobre cómo hacer esto para una matriz simple:

$$\begin{bmatrix} .4&.2&.4 \\\\ .6&0&.4 \\\\ .2&.5&.3 \end{bmatrix}$$

Sé que se puede calcular elevando la matriz a una potencia grande, pero este problema de práctica dice que hay que "calcular el vector de probabilidad invariante como un vector propio izquierdo". ¿Cómo se puede hacer esto?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si la matriz de transición es $A$ y el vector de probabilidad es $\mu$ , "invariante" significa que $\mu A = \mu$ . Otra forma de decir esto es que $\mu$ es un vector propio izquierdo de $A$ con valor propio 1.

$\mu A = \mu$ es realmente un sistema de ecuaciones lineales. Si escribimos $\mu = [\mu_1, \mu_2, \mu_3]$ entonces tenemos $$[\mu_1, \mu_2, \mu_3] \begin{bmatrix} .4&.2&.4 \\\\ .6&0&.4 \\\\ .2&.5&.3 \end{bmatrix}= [\mu_1, \mu_2, \mu_3]$$ o en otras palabras $$\begin{align*} .4 \mu_1 + .6 \mu_2 + .2 \mu_3 &= \mu_1 \\ .2 \mu_1 + 0 \mu_2 + .5 \mu_3 &= \mu_2 \\ .4 \mu_1 + .4 \mu_2 + .3 \mu_3 &= \mu_3. \end{align*} $$ Desde $\mu$ es ser un vector de probabilidad también tenemos que tener $$\mu_1 + \mu_2 + \mu_3 = 1.$$ Así que tienes un sistema de 4 ecuaciones lineales en 3 incógnitas. Ahora sólo tienes que resolver este sistema.

Answer 2

Es decir, encontrar un vector $v$ con las siguientes propiedades: todas las entradas entre 0 y 1, las entradas suman 1, y $vA=v$ (donde $A$ es su matriz de transición).

Si sabes cómo encontrar los vectores propios (de la izquierda), sólo tienes que encontrar uno para el valor propio 1, y luego normalizarlo para que la suma de las entradas sea 1.

Answer 3

Si T es la matriz de probabilidad de transición, la distribución estacionaria (o invariante) satisface la ecuación matricial

P(X)= T P(X)