Pregunta Simple (me parece que han hecho una serie como esta...)
¿Qué es $\mbox{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/n)$? (para $n \ne 2$)
Respuestas
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Grzenio
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Trate de encontrar la necesaria condición para un homomorphism primera.
Si f es un homomorphism de Z/2 Z/n entonces es claro que f asigna el elemento cero de Z/2 para el elemento cero de Z/n. Puede que el mapa 1 hasta cualquier elemento de Z/n? No, la asignación debe ser tal que f es un homomorphism. Suponiendo que sea, y $f(1) = x$, claramente $0 = f(0) = f(1+1) = f(1) + f(1) = x + x$ debe mantener, después de la cual los $2x = 0$ en Z/n. Así que esta es una condición necesaria.
Es fácil ver que esta condición es suficiente así. Así que el homomorphisms puede ser contado en el número de conteo de todos los x tales. Esto equivale a contar todas las soluciones de la congruencia $2x = 0$ en Z/n.
Claramente como $gcd(2,n)|0$, por lo que las soluciones siempre existen y van a ser mcd(2,n) (que puede ser 1 o 2, dependiendo de si n es par o impar respectivamente) en número. Entonces Hom(Z/2,Z/n) tendrá 1 o 2 elementos. En cualquier caso, va a ser cíclica debido a que todos los grupos de orden 1 y 2.
Xenph Yan
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Si $f:G\rightarrow H$ es un grupo homomorphism, a continuación, $\text{ord}(f(g))\mid\text{ord}(g)$ todos los $g\in G$ porque $g^n=e_G$ implica $f(g)^n=f(g^n)=f(e_G)=e_H$.
Por lo tanto, si $f:\mathbb{Z}/(2)\rightarrow H$ es un homomorphism, sabemos que $f(0+(2))=e_H$ porque $f$ es un homomorphism, y $f(1+(2))$ debe ser un elemento de orden, división 2 en $H$. De hecho, dado cualquier elemento $h\in H$ de orden, división 2, podemos definir un homomorphism $f:\mathbb{Z}/(2)\rightarrow H$$f(0+(2))=e_H$$f(1+(2))=h$.
Así, para cualquier grupo de $H$, el homomorphisms $f:\mathbb{Z}/(2)\rightarrow H$ están en bijection con los elementos de orden, división 2 en $H$. Estos son los elementos de orden 2, junto con la identidad de $e_H$ (que es el único elemento de orden 1, obviamente). Esto explica Theo sugerencia.
Sugerencia: Un elemento $a+(n)$ $\mathbb{Z}/(n)$ es de orden 2 al $a+(n)\neq 0+(n)$, pero $$2(a+(n))=2a+(n)=0+(n),$$ o en otras palabras, $a\not\equiv0\bmod n$ pero $$2a\equiv 0\bmod n.$$ Para que $n$ tan $a$ existen?
