¿Son siempre reales los factores determinantes?

Question

Acabo de darme cuenta de que no estoy seguro de la respuesta a esto. ¿Los determinantes son siempre de valor real? Los determinantes pueden calcularse como el producto de los valores propios. Los valores propios pueden ser de valor complejo. Así que seguramente los determinantes pueden ser de valor complejo. Sin embargo, nunca he calculado un determinante de valor complejo. Entonces, ¿es que aún no me he encontrado con ninguno o, por alguna razón, los determinantes son siempre reales?

Nota: Me inclino a pensar que deben ser reales porque se puede decir que un determinante es sólo un volumen generalizado de un paralelótopo hecho por los vectores columna como los lados. Pero, ¿cómo se construye un paralelótopo a partir de vectores complejos?

Answer 1

Un determinante es siempre un miembro del campo (o anillo) del que provienen las entradas de la matriz -- para cualquier tamaño dado de la matriz el determinante es un polinomio particular en las entradas. Así, si las entradas de la matriz son todas reales, entonces también lo es el determinante.

Pero con, digamos, entradas complejas en la matriz es fácil encontrar una matriz con un determinante no real:

$$\left|\begin{matrix}i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|=i $$

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Por cierto, no funciona muy bien para defina el determinante como el producto de los valores propios, porque algunas matrices tienen menos valores propios diferentes que el tamaño de la matriz, y entonces hay que incluir algunos valores propios en el producto varias veces, según su multiplicidad (algebraica). Pero la forma de definir la multiplicidad de los valores propios es a través de la función polinomio característico que a su vez se define mediante determinantes.

Answer 2

Dado un $n\times n$ matriz $A$ su determinante es igual al producto de sus valores propios. Como usted señala, aunque $A$ es real, sus valores propios pueden no serlo. Sin embargo, $\det A$ el producto de estos valores propios, será real. Para ver esto, observe que los valores propios de $A$ son precisamente los ceros de $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ que es un polinomio con coeficientes reales (los coeficientes son sumas y productos de entradas de $A$ ). Por lo tanto, si $\lambda$ es un cero de $p$ de multiplicidad algebraica $k$ entonces también lo es $\bar{\lambda}$ . En $\lambda\bar{\lambda} = |\lambda|^2 \in \mathbb{R}$ el determinante siempre será real.

Answer 3

Por su definición (suma de productos), el determinante de una matriz de valor real es un número real.

Si diagonaliza la matriz, los valores propios complejos vendrán en pares conjugados.

Answer 4

El determinante de un $n \times n$ con entradas reales es siempre real cuando se utiliza la expansión cofactorial, esencialmente se están sumando y multiplicando números reales, y puesto que $\mathbb{R}$ es un campo, $\mathbb{R}$ es cerrado bajo adición y multiplicación. Sin embargo, los valores propios de una matriz con entradas reales no tienen por qué ser todos reales. Esto depende del polinomio característico, en el que se toma $\det(A-\lambda I)$ y comprueba sus raíces. Verifica que la matriz $$\begin{bmatrix} 3&&2 \\ -5 &&-3\\ \end{bmatrix}$$ tiene un determinante real pero valores propios imaginarios.

Sin embargo, el determinante de un $n \times n$ matriz con entradas complejas puede no ser real. Pero como $\mathbb{C}$ es un campo, el determinante siempre será complejo.