La respuesta es sí, esencialmente por la misma prueba.
En general, si $E/K$ es una extensión de Galois de campos numéricos, y $Q$ es un primo de $O_E$ que se encuentra sobre un primo $P$ de $O_K$ podemos considerar el grupo de descomposición $D=D(Q|P)$ . Entonces el campo fijo $E^D$ se denomina campo de descomposición. Supongamos que tenemos un campo intermedio $K\subset L\subset E$ con $I$ siendo el ideal primo situado entre $Q$ y $P$ . Se puede demostrar que $L\subset E^D$ si y sólo si $e(I|P)=f(I|P)=1$ .
En cuanto a su pregunta, incruste $L_1L_2$ en alguna extensión de Galois $E/K$ . Sea $Q$ sea cualquier primo de $E$ en $P$ y que $D=D(Q|P)\leq Gal(E/K)$ sea el grupo de descomposición como antes. Sea $I_1,I_2$ sean los primos en $L_1,L_2$ respectivamente, que se encuentran entre $Q$ y $P$ . Ya que por la suposición $I_1,I_2$ tienen $e(I_i|P)=f(I_i|P)=1$ se deduce que $L_1,L_2\subset E^D$ . Por lo tanto, también $L_1L_2\subset E^D$ .
Por lo tanto, cualquier primo de $L_1L_2$ que se encuentra sobre $P$ tiene grado de inercia y ramificación igual a $1$ en $P$ es decir $P$ se divide completamente en $L_1L_2$ .
La prueba de la ramificación es la misma cuando sustituimos el grupo de descomposición por el grupo de inercia.