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División de un primo en compositum

Dejemos que $K$ sea un campo numérico. Sea $L_1$ y $L_2$ sean dos extensiones de $K$ . Sea $P\subseteq O_K$ sea un ideal primo. Sabemos que si $P$ no está ramificado en $L_1$ y $L_2$ permanece sin ramificar en el compositum $L_1L_2$ .

¿Tenemos un teorema similar cuando $P$ se divide completamente en ambos $L_1$ y $L_2$ a saber:

Si $P$ se divide completamente en ambos $L_1$ y $L_2$ ¿podemos decir que $P$ se divide completamente en el compositum $L_1L_2$ ?

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Cmc Puntos 73

La respuesta es sí, esencialmente por la misma prueba.

En general, si $E/K$ es una extensión de Galois de campos numéricos, y $Q$ es un primo de $O_E$ que se encuentra sobre un primo $P$ de $O_K$ podemos considerar el grupo de descomposición $D=D(Q|P)$ . Entonces el campo fijo $E^D$ se denomina campo de descomposición. Supongamos que tenemos un campo intermedio $K\subset L\subset E$ con $I$ siendo el ideal primo situado entre $Q$ y $P$ . Se puede demostrar que $L\subset E^D$ si y sólo si $e(I|P)=f(I|P)=1$ .

En cuanto a su pregunta, incruste $L_1L_2$ en alguna extensión de Galois $E/K$ . Sea $Q$ sea cualquier primo de $E$ en $P$ y que $D=D(Q|P)\leq Gal(E/K)$ sea el grupo de descomposición como antes. Sea $I_1,I_2$ sean los primos en $L_1,L_2$ respectivamente, que se encuentran entre $Q$ y $P$ . Ya que por la suposición $I_1,I_2$ tienen $e(I_i|P)=f(I_i|P)=1$ se deduce que $L_1,L_2\subset E^D$ . Por lo tanto, también $L_1L_2\subset E^D$ .

Por lo tanto, cualquier primo de $L_1L_2$ que se encuentra sobre $P$ tiene grado de inercia y ramificación igual a $1$ en $P$ es decir $P$ se divide completamente en $L_1L_2$ .

La prueba de la ramificación es la misma cuando sustituimos el grupo de descomposición por el grupo de inercia.

5voto

nguyen quang do Puntos 196

@Gal Porat. Quizás sea más "visible" utilizar la terminación del campo numérico $K$ en $P$ . El primer $P$ se divide completamente en $L_i$ si y sólo si el campo local $K_P$ coincide con $(L_i)_Q$ para todos los primos $Q$ de $L_i$ por encima de $P$ . Por lo tanto, si $P$ se divide completamente en ambos $L_1$ y $L_2$ se dividirá por completo en su composición.

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