Estoy buscando suave mapas de $ \Bbb R^n \\Bbb R^n $ with the property that, whenever $ h $ is a harmonic function ($\Delta h=0$), $ h\circ f $ is also harmonic. Is there a nice characterization of these functions? I'm especially interested in those function which are bijective such that $ f^{-1} $ también tiene esta propiedad. Hay una caracterización completa de estos "armonía preservar diffeomorphisms"?
Respuesta
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Estos son armónica morfismos: mapas de $\varphi$ que la "preservación de Laplace de la ecuación de $\Delta u=0$" sobre la precomposición por $\varphi$. Hay una vasta literatura sobre ellos (que generalmente son más definida entre arbitraria de Riemann colectores de uso de la Laplace-Beltrami operador).
En particular, con Euclidiana espacios, tenemos esta caracterización: un mapa es una armónica de morfismos si y sólo si ella misma es armónica y "horizontal débilmente conformación," significado de sus componentes degradados son ortogonales y de igual longitud. Encontrar todos los armónicos de morfismos entre arbitraria de subconjuntos abiertos de Euclídea del espacio es un problema abierto. Ver la Proposición $1.10$ en Madera de referencia del artículo Armónico Morfismos Entre los Colectores de Riemann. Madera & Helein amplio-objeto artículo Armónico de los Mapas en el texto del Manual de Análisis Global.
