medidas sobre la familia de local subconjuntos medibles

Question

Estoy contemplando durante el ejercicio acerca de las maneras de extender la medida a una colección de local subconjuntos medibles. Para ser precisos:

Deje $(X,\mathcal M,\mu)$ ser una medida en el espacio. Suponga que $\mu$ es semifinite (es decir, cada conjunto medible de medida infinita contiene conjuntos medibles de forma arbitraria gran medida finita). Deje $\mathcal C$ denotar la colección de local subconjuntos medibles de $X$. (Recordemos que un subconjunto $E\subseteq X$ es llamado localmente medible si para cada una de las $B\subseteq \mathcal M$$\mu(B)<\infty$, la intersección $E\cap B$ pertenece a $\mathcal M$.) Se puede demostrar que $\mathcal C$ $\sigma$- álgebra, por lo que se puede extender de medida $\mu$ $\mathcal M$ $\mathcal C$en al menos dos maneras diferentes: por cada $E\in\mathcal C$ definir

$\bar{\mu}(E)=\mu(E)$ si $E\in\mathcal M$ $\bar{\mu}(E)=\infty$ si $E\notin\mathcal M$;

$\underline{\mu}(E)=\sup\{\mu(B)\mid B\in\mathcal M,\, B\subseteq E\}$.

Uno puede mostrar que cada una de estas funciones es de hecho una medida en $\mathcal C$, lo $(X,\mathcal C)$ saturado medir el espacio.

La pregunta es para dar un ejemplo que muestra que $\bar\mu$ $\underline\mu$ son diferentes.

Answer 1

El ejemplo de este tipo de medidas se da en el Ejercicio de la 1.3.16, parte f, en Folland "Análisis Real", como señaló Quinn Culver. La construcción no es como sigue:

Vamos $X_1$, $X_2$ ser disjuntas innumerables conjuntos, $X=X_1\cup X_2$, e $\mathcal M$ $\sigma$- álgebra de todos contables y co-contable ["co-contables" significa que el complemento es contable] pone en $X$. Deje $\mu_0$ contar medida en el conjunto de $\mathcal P(X_1)$ de todos los subconjuntos de a $X_1$ y definir una nueva medida $\mu$ $\mathcal M$ $\mu(E)=\mu_0(E\cap X_1)$ (donde el conteo de medida $\mu_0(A)$ es igual a la cardinalidad de a $A$ si $A$ es finito y $\infty$ lo contrario). A continuación, los siguientes es verdadera:

(i) $\mu$ es una medida en $\mathcal M$;

(ii) todos los subconjuntos de a $X$ son localmente medibles con respecto a $\mu$;

(iii) las dos medidas de $\bar\mu$ $\underline\mu$ definida como en el original de la pregunta anterior, son diferentes.

La prueba de (i) es sencillo. Para probar (ii), vamos a tomar cualquier subconjunto $E\subseteq X$. Para mostrar que $E$ a nivel local es medible, se debe tener arbitraria $F\in\mathcal M$ tal que $\mu(F)<\infty$ y muestran que $E\cap F\in\mathcal M$. Desde $F\in \mathcal M$, $F$ es contable o co-contables. Pero desde $\mu(F)=\mu_0(F\cap X_1)<\infty$, e $X_1$ es incontable, $F$ no puede ser co-contable, por lo $F$ debe ser contable. Por lo tanto $E\cap F$ es contable y por lo tanto $E\cap F\in\mathcal M$.

Para (iii), tome $E=X_2$. A continuación,$\underline\mu(E)=\sup\{\mu(B)\mid B\in M, B\subseteq E\}=0$, ya que si $B\subseteq X_2$, $B\cap X_1=\varnothing$, y $\mu(B)=0$. Pero $\bar\mu(E)=\infty$$E\notin\mathcal M$.