Giro suma a la representación integral

Question

Me gustaría convertir esta suma: \begin{align}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)} \end{align} en un integrante $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \space dx$.

Parece ser que existen muchos métodos para cambiar o aproximado de sumas como las integrales. Así que me he confundido el enfoque que iba a funcionar.

En ¿Es posible escribir una suma de forma integral a resolverlo? robjohn utilizado $\int_0^\infty e^{-nt}\,\mathrm{d}t=\frac1n$, que se parece a un transformadas de Laplace.

Yo no puede ver cómo se deshace de los n así que no soy capaz de aplicarlo aquí de lo contrario, parece prometedor. Pero buscando en otros lugares también hay aproximaciones métodos tales como: Giro infinito en suma integral que incluso más oscuro, al menos para mí.

¿Cómo puedo convertir esta suma a una integral?

Answer 1

Bueno, podría escribir $$\frac{1}{n+1} = \int_0^1 t^n\; dt$$ así que (por $|x| < 3$) su suma se convierte en $$ \eqalign{\sum_{n=0}^\infty &\left(\frac{x}{3}\right)^{n+1} \int_0^1 t^n\; dt\cr = & \frac{x}{3} \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{xt}{3}\right)^n \; dt\cr = & \frac{x}{3} \int_0^1 \frac{dt}{1-xt/3}\cr = & \ln\left(\frac{3}{3-x}\right)\cr }$$

Answer 2

Recordemos que $$\frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)} = \int_0^{x/3} t^n \ \mathrm{d}t$$ Por lo tanto $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{x/3} t^n \ \mathrm{d}t = \int_0^{x/3} \sum_{n=0}^{\infty} t^n \ \mathrm{d}t = \int_0^{x/3} \frac{1}{1-t} \mathrm{d}t = -\ln \left( \frac{3-x}{3} \right)$$

Esto es para $|x|<3$.

Answer 3

Si usted diferenciar lo que va a obtener una serie geométrica $$\begin{align} \frac d{dx}\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)} &=\sum_{n=0}^\infty\frac d{dx}\frac 1{(n+1)}\left(\frac x3\right)^{n+1}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac x3\right)^n\\ &=\frac 1{1-\frac x3}\\ &=\frac 3{3-x}\\ \text{Integrating:} \qquad \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)}&=-\ln\left(\frac {3-x}3\right)=\ln\left(\frac 3{3-x}\right)\end{align}$$

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* por Fubini/el teorema de Tonelli