¿Qué es $H_*(S^m \times S^n)$, sin usar Künneth teorema?

Question

Como la pregunta sugiere, ¿qué es $H_*(S^m \times S^n)$$m \ge 1$$n \ge 1$? Me gustaría ver un camino sin el uso de la Künneth teorema de...

Answer 1

Podemos calcular $H_i(S^n\times X)$ para cualquier espacio de $X$ y todos los $i$ sin el uso de Künneth del teorema de la siguiente manera:

Paso 1: Hay una retracción $r:S^n\times X\to \{x_0\}\times X=X$ pellizcando $S^n$.

Esto significa que $r\circ i=id_X$ donde $i:X=\{x_0\}\times X\hookrightarrow S^n\times X$ es la inclusión. Entonces, por functoriality de $H_i$, la inclusión es inyectiva en a $H_i$ (ya que ha dejado a la inversa). Por lo tanto, teniendo en cuenta el largo de la secuencia exacta de los par $(S^n\times X, X)$, hemos dividido corto exacta de las secuencias de la forma:

$$0\to H_i(X)\to H_i(S^n\times X)\to H_i(S^n\times X, X)\to 0$$

y, por tanto,$H_i(S^n\times X)\cong H_i(X)\oplus H_i(S^n\times X, X)$.

Paso 2: Cálculo de $H_i(S^n\times X, X)$.

Deje $D^n_+$ "$\epsilon$- engrosamiento de la" hemisferio superior de $S^n$ $D^n_{-}$ e "$\epsilon$-engrosamiento de la" hemisférica de $S^n$, cada una conteniendo $x_0$. A continuación, $S^n\times X$ puede ser escrito como la unión de los dos subconjuntos $\underbrace{(D^n_+\times X)}_{A}$ $\underbrace{(D^n_-\times X)}_{B}$ y más $\{x_0\}\times X = X\subset A\cap B$. Ahora, consideremos el siguiente fragmento de la relación de Mayer-Vietoris secuencia:

$$H_i(A,X)\oplus H_i(B,X)\to H_i(S^n\times X, X)\to H_{i-1}(A\cap B, X)\to H_{i-1}(A,X)\oplus H_{i-1}(B,X)$$

Podemos hacer las siguientes observaciones:

• $(A,X)\simeq (X,X)\simeq (B,X)$ desde $D^n_{\pm}$ es contráctiles
• $(A\cap B,X)\simeq (S^{n-1}\times X, X)$

Por lo tanto, el MV-secuencia anterior da isomorphisms $H_i(S^n\times X, X)\cong H_{i-1}(S^{n-1}\times X,X)\cong \cdots \cong H_{i-n}(X\sqcup X, X)\cong H_{i-n}(X)$.

Conclusión: la Combinación de los dos resultados, obtenemos $H_i(S^n\times X)\cong H_i(X)\oplus H_{i-n}(X)$.