Existen complejo $z_{0}$, tal $|z_{0}|=1$ y $|f(z_{0})|\le|f(z)|,\forall |z|\ge 1$

Question

Que $a\in (0,1), f(z)=z^2-z+a, z\in \mathbb C$. Existe un número complejo $z_{0}$, que $|z_{0}|=1$ y $$|f(z_{0})|\le|f(z)|,\forall |z|\ge 1$ $ simplemente no tengo idea donde empezar así que cualquier sugerencia será apreciada mucho. Pido disculpas por no mostrar ningún esfuerzo. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias

¿Hay un método sin usando el principio del módulo máximo para resolver este problema?

Answer 1

Tenemos $\lim\limits_{z\to\infty} |f(z)|=\infty$ y la función de $|f|$ es continua, por lo $|f|$ tiene un mínimo en algún punto de $z_0$ en el conjunto de $|z|\ge1$. Nuestro objetivo es demostrar que $z_0$ se encuentra en el círculo unitario; en otras palabras, $z_0$ no puede estar fuera del círculo.

Deje que las dos raíces se $u$$v$. Ellos están en la cerrada de la unidad de disco: $u,v=\frac12\pm\sqrt{\frac14-a}\in[0,1]$ si $0\le a\le\frac14$, y $u,v=\frac12\pm\sqrt{a-\frac14}i$ si $\frac14\le a\le1$. Sabemos que $$ f(z) = |z-u| \cdot |z-v|. $$ Desde este punto, es justo básicos de la geometría. Supongamos que $z_0$ está fuera del círculo y considerar el (puede ser degenerada) en el triángulo formado por $z_0$, $u$ y $v$. Tomar un punto de $w$, cerca de $z_0$, en la bisectriz de un ángulo de partida en $z_0$, pero fuera del círculo unidad. Los ángulos $\angle u,z_0,w$ $\angle v,z_0,w$ son agudos, por lo $|w-u|<|z_0-u|$$|w-v|<|z_0-v|$; por lo tanto,$|f(w)|<|f(z_0)|$; por lo $|f|$ no tiene un mínimo en $z_0$.

Answer 2

Es continua la función $|f|$ y $\lim_{|z|\to\infty } |f(z)|=\infty $ por lo tanto existe $z_0 $ tal que % $ $$\inf_{z\mathbb{C} \setminus U}|f(z)| =|f(z_0 )|$donde $U=\{z:|z|<1\}.$