Factorización de Órdenes en Grupos Finitos

Question

Sea $g$ un elemento de un grupo finito $G$ tal que $o(g)$; el orden de $g$; tiene la forma de $o(g)=abc$ donde $\gcd(a,b)=\gcd(a,c)=\gcd(b,c)=1.

¿Es posible encontrar tres elementos $x,y,z$ en $G$ tal que $g=xyz$ con $o(x)=a$, $o(y)=b$ y $o(z)=c$?

Claramente esto es posible cuando uno de $a,b$ o $c$ es igual a 1. Pero no tengo idea en el caso en el que $a, b$ y $c$ son todos diferentes de 1.

Answer 1

Puedes reducir esto a que $g$ sea un elemento con $o(g)=ab$, $gcd(a,b)=1$. Ten en cuenta que en general, $o(x^k)=\frac{o(x)}{gcd((k,o(x))}$ para cualquier elemento $x$ de un grupo. Ahora, el teorema de Bézout nos dice que existen enteros, $k$ y $l$ tales que $1=ka+lb \text{ } (*)$. Por lo tanto $g=g^{ka+lb}=g^{ka} \cdot g^{lb}$. Observa que $o(g^{ka})=\frac{ab}{gcd(ka,ab)}=\frac{b}{gcd(k,b)}$, y a partir de $(*)$ es obvio que $gcd(k,b)=1$. Así que $o(g^{ka})=b$. Del mismo modo, $o(g^{lb})=a$ y ya está. Ahora puedes extender el proceso a tres factores ya que tu condición $gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(c,a)=1$ implica $gcd(ab,c)=1$.