Hace una función tiene que ser "continuo" en un punto "definido" en el punto?

Question

Hice una búsqueda para saber si esta pregunta ya fue contestada, pero no pudo encontrar ninguna.

Hace una función tiene que ser "continuo" en un punto "definido" en el punto?

Tomar, por ejemplo, la simple función de $f(x) = {1 \over x}$; obviamente no es continua en a $x = 0$. Sin embargo, sí tiene la $-$ $+$ límites, porque la $\lim_{x \to 0-} f(x) = -\infty $$\lim_{x \to 0+} f(x) = +\infty$.

Habría que decir, entonces, que $f(x) = {1 \over x}$ está "definido" en $x = 0$ o no? Por favor, justifique su respuesta.

Lo pregunto porque en http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function#Examples no es el texto:

la función de $f(x) = \frac {2x-1} {x+2}$ está definida para todos los números reales $x \neq -2$ y es continua en cada punto. La cuestión de la continuidad en $x = -2$ no se plantea, puesto que $x = -2$ no está en el dominio de $f$.

y el título del gráfico asociado lee:

La función no está definida para $x = -2$.

¿Debo interpretar esto significa que una función no puede ser definido en un punto de discontinuidad o simplemente que la función es intencionalmente no se define en el punto de discontinuidad sólo para alcanzar el estado de continua (para cualquier propósito) a través de todo el dominio se define?

Answer 1

Las definiciones más comunes de continuidad de acuerdo en el hecho de que una función puede ser continua sólo en los puntos de su dominio.

Preguntando si $f(x)=1/x$ es continuo, es como preguntar ¿cuál es la comida preferida de los unicornios.

Usted está siendo engañado por la frase "punto de discontinuidad". Bueno, la verdad es que una función continua puede muchos puntos de discontinuidad. Es sólo un desafortunado terminología que me parece ser una fuente inagotable de malentendidos. La terminología es debido a una antigua forma de pensar de la continuidad: se marca un "break" en el gráfico. Sin embargo, el concepto de que una función es continua si "se puede dibujar sin levantar el lápiz" es una manera equivocada de pensar a la continuidad. La función $$ f(x)= \begin{cases} 0 & \text{if %#%#%,}\\ x\sin(1/x) & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ es continua en todas partes, pero nadie puede realmente pensar para dibujar su gráfica sin levantar el lápiz. Puede usted?

El hecho de que $x=0$ (definida en la recta real con la excepción de $x\ne0$) tiene un punto de discontinuidad no significa que la función no es continua en algún lugar. De hecho es continua en cada punto de su dominio.

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Impulsado por un comentario, voy a agregar que una función puede ser definida en un punto de un no ser continua. El ejemplo lo más fácil es la función de Dirichlet $$ D(x)= \begin{cases} 0 & \text{if %#%#% is irrational,}\\ 1 & \text{if %#%#% is rational} \end{casos} $$ que es continua en ningún lugar.

Así que una función puede ser, ciertamente, no continuas (he evitado discontinua) en un punto donde está definido.

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Volviendo a la función de $1/x$, se puede especificar cualquier subconjunto de los números reales como su dominio, siempre y cuando no contenga $0$. Cuando el dominio no se especifica de forma explícita, se acostumbra a utilizar el mayor subconjunto de los reales, donde la expresión tiene sentido, en este caso es $x$.

Sin duda que es posible definir una función de $x$ que se extiende $f(x)=1/x$$0$; la función de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ no puede, sin embargo, ser continua, porque el límite de $g$ $f$ no puede ser el valor de $0$.

Answer 2

Hablando acerca de tu pregunta no tiene sentido, a menos que digas algo sobre el dominio de la función. La expresión1/x no está definida para x=0, por supuesto.

Una función no tiene que ser continua en algún momento, como se define, por ejemplo, la función característica de los números racionales en el conjunto de los números reales.

Además, la función tiene que ser realmente definido en algún punto a discutir si la función es continua o no en ese momento.

Answer 3

No, no.

Puede definir una función en cualquier momento, en cualquier forma que usted desee.

Por ejemplo, puede definir la función $\mathrm{sign}(x)$ $$ \mathrm{signo}(x) = \left\{\begin{array}{rl}-1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0\end{array}\right. $$ y luego, después de la definición, el estudio de la continuidad. (Será continuamente en todos los puntos, excepto en $x = 0$, pero sin duda es definido por allí).

Pero que una función ha de ser definido en un punto en el fin de estudiar la continuidad en este punto, que es la razón por la que escribir "la cuestión de La continuidad en $x=−2$ no se plantea, puesto que $x=−2$ no está en el dominio de $f$."

Answer 4

La continuidad es, en definitiva, el concepto de la formalización de la siguiente idea: Si $x$ es cerca de $x_0$ $f(x)$ es cerca de $f(x_0)$. Si esta idea tiene que tener sentido para algunos instancia en particular, a continuación, el requisito mínimo para $f$ es que el $f(x_0)$ ser definido. Al $f(x_0)$ está definido, pero no hay puntos de $x$ "cerca" $x_0$ donde $f$ es definido y, a continuación, $x_0$ es un punto aislado del dominio de $f$, e $f$ se declara continua en$x_0$, por definición.

El caso interesante es cuando hay puntos de $x\in{\rm dom}(f)$ arbitrariamente cerca de $x_0$. Cuál debe ser el significado exacto de la "Si $x$ es cerca de $x_0$ $f(x)$ es cerca de $f(x_0)$"? Queremos tener algo de control sobre la salida de error $|f(x)-f(x_0)|$ al $x$ está "cerca" $x_0$. Una estimación de la forma $$|f(x)-f(x_0)|\leq |x-x_0|$$ estaría bien, y también aceptar $$|f(x)-f(x_0)|\leq C\ |x-x_0|\tag{1}$$ para algunas constantes $C$, decir $C=20$. Pero por desgracia, nuestra idea de la "Si $x$ es cerca de $x_0$ $f(x)$ es cerca de $f(x_0)$" abarca los ejemplos no cubiertos por $(1)$, por ejemplo, la función $f(x)=\sqrt{x}$ $\>(x\geq0)$ en $x_0:=0$. Es por eso que en la final los matemáticos han asentado en el "engorroso" de la definición que $f$ se declara continua en $x_0$ si, dado cualquier salida de tolerancia $\epsilon>0$, podemos encontrar una entrada de prestación de $\delta>0$ (dependiendo $\epsilon$) tal que $|x-x_0|<\delta$ garantiza $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

Answer 5

Seguramente, esto no es un matemático preciso que se trate - o, al menos, como un matemático preciso pregunta es bastante trivial: hay un montón de funciones discontinuas que están perfectamente bien definidas en todas partes, si usted lo desea.

Sin embargo, hay una perspectiva más profunda que viene de la geometría algebraica y análisis funcional, en el que uno trabaja no con una sola función, sino que con un anillo de $A$ y piensa que es como un anillo de funciones. Entonces uno solo define los "puntos donde estas funciones se definen" para corresponder a la máxima (o principal, si usted realmente quiere) los ideales de ese anillo. Esto es lo que la gente llama espectro de un anillo y Gelfand espectro de un álgebra de Banach (atengámonos a álgebras de Banach para el bien de la simplicidad, en vez de polynormed álgebras o incluso peor). El Gelfand espectro de un álgebra de Banach lleva un natural compacto Hausdorff la topología generada por las funciones en el álgebra, y esta topología está diseñado para hacer que estas funciones continuas. Sin embargo, esta construcción sólo depende de $A$ ser un álgebra de Banach, así que si originalmente era también un álgebra de funciones definidas en un cierto espacio, usted puede encontrar que el espectro es mucho más rica que la del espacio. En este caso, el espectro proporciona la natural compactification, y en algunos casos puede ser tan grande y complicado que en realidad se ve un poco aterrador a primera vista (en particular, los espectros de $\ell^\infty$ o $L^\infty$ ciertamente lo es), pero es un muy, muy útil.

Una alternativa, pero estrechamente relacionados, punto de vista es fijar un anillo de $A$ y también un campo (o anillo) $\mathbb{K}$, para su propósito suele ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y definir un $\mathbb{K}$-punto de $A$ a ser un anillo homomorphism $A \to \mathbb{K}$ (véase el functor de puntos). Si $\mathbb{K}$ lleva una topología, entonces también lo hace este espacio de $\mathbb{K}$-puntos, y de nuevo, esta topología está diseñado para realizar las funciones continuas. En el caso de los complejos de álgebras de Banach el espacio de $\mathbb{C}$de los puntos es la misma que la de Gelfand de espectro.