$F[x]/\langle p(x)\rangle$ es un campo de $\iff F[x]/\langle p(x)\rangle$ es una parte integral de dominio

Question

$$\color{red}{Is~my~interpretation~correct?}$$

Deje $F$ ser un campo. Sé que $p(x)\in F[x]$ es irreductible $\iff \langle p(x)\rangle$ es maximal, es decir,

• $F[x]/\langle p(x)\rangle$ es un campo de $\iff p(x)$ es irreducible en a $F[x].$

Quiero obtener un resultado análogo para la integral de dominio. Yo sé que para cualquier integrante de dominio $D,$ $p(x)(\ne0)\in D[x]$ es el primer $\iff \langle p(x)\rangle$ es el ideal. Así

• Para $p(x)(\ne 0)\in D[x],~D[x]/\langle p(x)\rangle$ es una parte integral de dominio $\iff\langle p(x)\rangle$ es un alojamiento ideal.

Así, por $p(x)(\ne0)\in F[x],F$ siendo un campo,

• $F[x]/\langle p(x)\rangle$ es una parte integral de dominio $\iff \langle p(x)\rangle$ es un alojamiento ideal $\iff p(x)$ primer $\Rightarrow p(x)$ es irreductible $\iff F[x]/\langle p(x)\rangle$ es un campo.

Así que para cualquier campo de $F$ cualquier $p(x)\in F[x],F[x]/\langle p(x)\rangle$ es un campo de $\iff F[x]/\langle p(x)\rangle$ es una parte integral de dominio.

Answer 1

Es cierto siempre que se excluya $p(x)=0$ (que se hizo en la ruta, pero no en la declaración final). El cero ideal de un director de ideal de dominio es el primer (a causa de la "dominio"), pero no máxima (a menos que el PID es en sí mismo un campo), y es la única que no es maximal primer ideal.

Un camino directo para ver la equivalencia es que, asumiendo $p(x)\neq0$, el anillo de $R=F[x]/\langle p(x)\rangle$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre el campo$~F$. La operación de multiplicación por cualquier elemento $a\in R$ $F$- operador lineal en $R$; será inyectiva ($a$ es regular en $R$) si y sólo si es surjective ($a$ es invertible en a $R$ $1\in R$ es un múltiplo de ella) si y sólo su determinante es distinto de cero. En particulat todo distinto de cero $a$ son regulares ($R$ es una parte integral de dominio, y $\langle p(x)\rangle$ prime) si y sólo si todos los distinto de cero $a$ son invertible ($R$ es un campo, y $\langle p(x)\rangle$ máximo).