Yo estaba tratando de demostrar que para $n \geq 1$ y $n = 0$, $$\lvert \sin(nx)\rvert \leq n \cdot \lvert \sin(x) \rvert$$
Resulta que en realidad no es cierto...pero no sé por qué. Mi prueba me parece razonable, por favor me ayuden a encontrar el problema(s).
EDIT: Esto es para los números reales $n$
$\\$
Prueba:
Puesto que estamos interesados en el valor absoluto de a $\sin(nx)$ sólo tenemos que considerar $nx$ sobre el intervalo de $[0, \frac{\pi}{2}]$, porque cualquier ángulo $kz \gt \frac{\pi}{2}$ puede ser expresado como $nx$ tal que $\lvert \sin(nx) \rvert = \lvert \sin(kz) \rvert$.
Sabemos que la tasa de cambio de $\sin(x)$ con respecto al $x$ disminuye continuamente como $x$ aumenta, por $x$$[0, \frac{\pi}{2}]$.
También sabemos que cualquier ángulo $nx$ puede ser roto en la suma de $x$$(nx - x)$.
Por lo tanto sabemos que $$\frac{\sin(x)}{x} \geq \frac{\sin(nx) - \sin(x)}{nx - x}$$
En otras palabras, desde la $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x)$ es continuamente decreciente en el intervalo de $[0, \frac{\pi}{2}]$, la pendiente en el intervalo de $[0,x]$ es siempre mayor o igual a la pendiente de más de $[x, nx]$.
Por tanto, tenemos
$$nx \cdot \sin(x) - x \cdot \sin(x) \geq x \cdot \sin(nx) - x \cdot \sin(x)$$
$$nx \cdot \sin(x) \geq x \cdot \sin(nx)$$
$$n \cdot \sin(x) \geq \sin(nx)$$
$\\$
Estoy bastante seguro de lo que está mal es mi primera suposición de que: Ya que estamos interesados en el valor absoluto de a $\sin(nx)$ sólo tenemos que considerar $nx$ sobre el intervalo de $[0, \frac{\pi}{2}]$, porque cualquier ángulo $kz \gt (\frac{\pi}{2})$ puede ser expresado como $nx$ tal que $\lvert \sin(nx) \rvert = \lvert \sin(kz) \rvert$.
Pero no estoy seguro exactamente por qué. Agradecería una explicación de por qué a esta parte o a otros de mi prueba están equivocados.
EDIT: UNA segunda pregunta que tengo es si mi prueba realmente funciona si hemos hecho constain $nx$$[0, \frac{\pi}{2}]$. ¿Qué acerca de restricción de sólo $x$ $[0, \frac{\pi}{2}]$
