Impulso cálculo de espacio de características observables

Question

En Griffiths Introducción a la Mecánica Cuántica, se afirma que la expectativa de valor de cualquier observable puede ser calculado en el impulso de espacio en el espacio de Fourier) de la siguiente manera.

En el impulso de espacio, entonces, la posición del operador es $i\hbar\partial/\partial p$. De manera más general, $$ \langle Q\left(x,\,p\right)\rangle=\casos{\int\psi^\estrellas\hat{Q}\left(x,\,\frac{\manejadores}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi\,{\rm d}x & \text{en la posición del espacio;} \\ \int\Phi^\estrellas\hat{Q}\left(-\frac{\manejadores}{i}\frac{\partial}{\partial p},\,p\right)\Phi\,{\rm d}p & \text{en el impulso de espacio.}}\la etiqueta{3.58} $$ En principio, usted puede hacer todos los cálculos en el impulso espacio igual de bien (aunque no siempre tan fácilmente) como en la posición del espacio.

¿Alguien puede demostrar la prueba de esta afirmación?

Answer 1

Podemos escribir el estado en la posición del espacio como

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\tilde{\psi}(k)e^{ikx}dk$$

Por lo tanto, por ejemplo

$$\int\psi^{\ast}(x)x\psi(x)dx=\int\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\tilde{\psi}^{\ast}(k_{1})e^{-ik_{1}x}dk_{1}\right]x\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\tilde{\psi}(k_{2})e^{ik_{2}x}dk_{2}\right]dx=$$

$$=\int\tilde{\psi}^{\ast}(k_{1})\tilde{\psi}(k_{2})\left[\frac{1}{2\pi}\int xe^{i(k_{2}-k_{1})x}dx\right]dk_{1}dk_{2}=$$

$$=\int\tilde{\psi}^{\ast}(k_{1})\tilde{\psi}(k_{2})\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial k_{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int e^{i(k_{2}-k_{1})x}dx\right]dk_{1}dk_{2}=$$

$$=\int\tilde{\psi}^{\ast}(k_{1})\tilde{\psi}(k_{2})\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial k_{2}}\delta(k_{2}-k_{1}) dk_{1}dk_{2}=\left[{\rm integration\:by\:parts}\right]=$$

$$=\int\delta(k_{2}-k_{1})\tilde{\psi}^{\ast}(k_{1})\left(-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial k_{2}}\right)\tilde{\psi}(k_{2})dk_{1}dk_{2}=$$

$$=\int\tilde{\psi}^{\ast}(k)\left(-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial k}\right)\tilde{\psi}(k)dk=\int\tilde{\psi}^{\ast}(p)\left(-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial p}\right)\tilde{\psi}(p)dp$$

Se puede generalizar este resultado?

Answer 2

Para calcular una expectativa de valor como $$ \langle\psi| \hat Q |\psi\rangle$$ you would like to represent the states and the operator in a given basis, say $\{|x\rangle\}$, by inserting two unities (build out of the basis elements) $$ \langle\psi| \mathbb{1}\hat Q \mathbb{1}|\psi\rangle.$$ Desde la transformación de Fourier es similar a la de regular de álgebra lineal de cambio de base de operaciones, la representación en el momento que el espacio es equivalente.

Answer 3

Las funciones de onda en la posición y el momento están relacionados a través de la transformada de Fourier de $$\Psi(x)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{\Psi}(p)\exp{\Big(\frac{ipx}{\hbar}\Big)}d^{(n)}p$$ La expectativa de valor de los observables en la posición del espacio es $$\bar{O}=\int_{\mathbb{R}^{n}}\Psi^{\dagger}(x)O(x, -i\hbar\partial_{x})\Psi(x)d^{(n)}x=$$ $$=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp{\Big(\frac{-ipx}{\hbar}\Big)}\tilde{\Psi}^{\dagger}(p)O(x, -i\hbar\partial_{x})\tilde{\Psi}(q)\exp{\Big(\frac{iqx}{\hbar}\Big)}d^{(n)}pd^{(n)}qd^{(n)}x=$$ $$=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{\Psi}^{\dagger}(p)O(i\hbar\partial_{q}, q)\tilde{\Psi}(q)\exp{\Big(\frac{i(q-p)x}{\hbar}\Big)}d^{(n)}pd^{(n)}qd^{(n)}x=$$ $$=\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{\Psi}^{\dagger}(p)O(i\hbar\partial_{q}, q)\tilde{\Psi}(q)\delta(p-q)d^{(n)}pd^{(n)}q=$$ $$=\int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{\Psi}^{\dagger}(p)O(i\hbar\partial_{p}, p)\tilde{\Psi}(p)d^{(n)}p$$