Término constante de un polinomio mónico en $\mathbb{Z}[x]$ Es divisible por 3

Question

Dado un polinomio mónico $f(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ tal que $\alpha$ y $3 \alpha$ son raíces complejas de $f(x),$ demostrar que el término constante de $f(x)$ es divisible por 3.

He intentado este problema varias veces y no he encontrado una prueba satisfactoria. Denotaremos el polinomio mínimo de $\alpha$ en $\mathbb{Q}$ por $p(x)$ y el polinomio mínimo de $3 \alpha$ en $\mathbb{Q}$ por $q(x).$ Claramente, tenemos que $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(3 \alpha),$ de lo que se deduce que $\deg(p) = \deg(q).$ Consideremos el polinomio $r(x) = p(\frac{x}{3})$ en $\mathbb{Q}[x].$ Observamos que $r(3 \alpha) = p(\alpha) = 0$ y $\deg(r) = \deg(p) = \deg(q),$ de lo que me gustaría concluir que $r(x) = 3^{-k} q(x)$ para $k = \deg(p).$ Pero no creo que esto haga nada para resolver el problema, y aquí es donde estoy ahora atascado. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Considere el campo de división $F$ del polinomio, y el anillo de enteros $\mathcal{O}_F$ de este campo (es decir, el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en $F$ ). Entonces el coeficiente constante $f_0$ de $f$ es igual al producto de las raíces de $f$ en $F$ que son todas integrales sobre $\mathbb{Z}$ Por lo tanto, si $\beta$ es el producto de las raíces distintas de $\alpha$ y $3\alpha$ entonces $f_0 = 3 \alpha^2 \beta$ y $\beta \in \mathcal{O}_F$ . De ello se desprende que $\frac{1}{3} f_0 \in \mathcal{O}_F \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$ .

Answer 2

Puede sustituir $3$ por cualquier número entero $m\neq 0$ et $\alpha$ no es necesariamente un número complejo no real. Tampoco asumo que $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ es mónico excepto que el coeficiente principal de $f(x)$ es coprima de $m$ .

Dejemos que $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ es un polinomio tal que, para algún número algebraico $\alpha$ , ambos $\alpha$ y $m\alpha$ son raíces de $f(x)$ . Supongamos además que el coeficiente principal de $f(x)$ es relativamente primo de $m$ . Sea $p(x)\in\mathbb{Z}[x]$ sea un polinomio mínimo primitivo de un número algebraico arbitrario $\alpha$ . Sea $n$ sea el grado de $p(x)$ .

Demostrar que $q(x):=m^n\,p\left(\frac{x}{m}\right)\in\mathbb{Z}[x]$ es un polinomio mínimo primitivo de $m\alpha$ . Compruebe que, si $\alpha\neq 0$ y $|m|>1$ entonces $p(x)$ y $q(x)$ son relativamente primos sobre $\mathbb{Q}$ . Demuestre también que ambos $p(x)$ y $q(x)$ dividir $f(x)$ . En el caso de que $\alpha$ no es un número racional, sabemos que $n\geq 2$ . Desde $m^n$ divide el término constante de $f(x)$ concluimos que al menos $m^2$ divide el término constante de $f(x)$ .