Ayuda de prueba de identidad de disparo

Question

Estoy tratando de demostrar que$$ \frac{\cos(A)}{1-\tan(A)} + \frac{\sin(A)}{1-\cot(A)} = \sin(A) + \cos(A)$ $

¿Puede alguien ayudarme a empezar? He hecho otras pruebas, pero esta me ha dejado perplejo! Solo un comienzo, no necesito toda la prueba. Gracias.

Answer 1

Intentaría multiplicar el numerador y el denominador por (para el primer término)$1+\tan{(A)}$ y por el segundo$1+\cot{(A)}$. A partir de ahí debería ser solo un poco de jugar con las identidades de Pitágoras ($\sin^2{(A)}+\cos^2{(A)}=1$,$\tan^2{(A)}+1=\sec^2{(A)}$ y$1+\cot^2{(A)}=\csc^2{(A)}$) y escribir$\tan{(A)}$ y$\cot{(A)}$ en términos de $\sin$ y$\cos$.

Answer 2

Para empezar, sugeriría volver a escribir el lado izquierdo en términos de seno y coseno (la tangente y cotangente) y simplificar las fracciones complejas.

Answer 3

Puede utilizar la variable compleja $q=e^{iA}$ y las siguientes identidades

$$\cos A=\frac{e^{iA}+e^{-iA}}{2},\qquad\sin A=\frac{e^{iA}-e^{-iA}}{2i},$$

$$\tan A=\frac{e^{iA}-e^{-iA}}{i\left( e^{iA}+e^{-iA}\right) }\qquad\text{and}\qquad\cot A=\frac{i\left( e^{iA}+e^{-iA}\right) }{e^{iA}-e^{-iA}},$$

para obtener:

$$\dfrac{\dfrac{p+q^{-1}}{2}}{1-\dfrac{q-q^{-1}}{i\left( p+q^{-1}\right) }}+% \dfrac{\dfrac{q-q^{-1}}{2i}}{1-\dfrac{i\left( p+q^{-1}\right) }{q-q^{-1}}}=% \dfrac{q-q^{-1}}{2}+\dfrac{p+q^{-1}}{2},$$

que puede, a continuación, compruebe de manera algebraica es una identidad.

Nota: los denominadores en la identidad original tiene que ser diferente de cero y $\tan A$ $\cot A$ no puede ser infinito.

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Añadido: la última fórmula se puede simplificar de la siguiente manera. En primer lugar

$$\dfrac{-\left( p+q^{-1}\right) ^{2}}{i\left( p+q^{-1}\right) -q+q^{-1}}-% \dfrac{\left( q-q^{-1}\right) ^{2}}{-q+q^{-1}+\left( p+q^{-1}\right) }% =q-q^{-1}+\left( p+q^{-1}\right) ,$$

entonces

$$-\left( q+q^{-1}\right) ^{2}-\left( q-q^{-1}\right) ^{2}$$

$$=\left( q-q^{-1}+\left( p+q^{-1}\right) \right) \left( i\left( q+q^{-1}\right) -q+q^{-1}\right) ,$$

y, finalmente,

$$-2q^{2}-\frac{2}{q^{2}}=-2q^{2}-\frac{2}{q^{2}},$$

que es, de hecho, una identidad.