Dado$f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2y+xy^2$, encuentra$f'(x)$

Question

Esta pregunta ya ha sido formulada pero la solución no fue satisfactoria.

Supongamos que$f$ es una función que satisface la ecuación$$f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2y+xy^2$$ for all real numbers $ x$ and $ y $ Supongamos también que$\lim \limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=1$

Encontrar $f'(x)$

Al usar la definición de derivado, obtuve$f(0)=0$ y$f'(0)=1$

¿Cómo obtendré$f'(x)$?

Answer 1

La definición de la derivada es $$ f '(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} $$ Usando la propiedad que se nos ha dado sobre$f$, obtenemos $$ \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = \ frac {f (x) + f (h) + x ^ 2h + xh ^ 2 - f (x)} {h} \\ = \ frac {f (h)} {h} + x ^ 2 + xh $$ Esto da $$ f '(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} \\ = \ lim_ {h \ a 0} \ left (\ frac {f (h)} h + x ^ 2 + xh \ right) \ \ = 1 + x ^ 2 $$