Dos preguntas con respecto a los determinantes

Question

Tengo una prueba de $det(AB)$ = $(detA)(detB)$ en mi libro.

Es lo siguiente (para A invertible): sabemos que rref[A|AB]=[ $I_{n}$ |B] También sabemos que det(A)= $(-1)^{s}k_{1}k_{2}...k_{r}$ donde s es el número de intercambios de filas necesarios para llegar a la rrefA, y $k_{i}$ son los coeficientes por los que dividimos las filas de A para llegar a rrefA. Por lo tanto, concluye el libro, det(AB)= $(-1)^{s}k_{1}k_{2}...k_{r}$ (detB)=(detA)(detB), pero no veo cómo pasamos de det(AB) a $(-1)^{s}k_{1}k_{2}...k_{r}$ (detB). ¿Podría explicar la lógica de este paso? (Veo cómo (detA)(detB)= $(-1)^{s}k_{1}k_{2}...k_{r}$ (detB), obviamente).

El libro también utiliza el hecho de que si A no es invertible, tampoco lo será AB (porque la imagen de AB está contenida en A), por lo que (detA)(detB)=0(detB)=0=det(AB). Mi pregunta es, ¿cómo demostraríamos que esta ecuación se cumple si B es no invertible, y por tanto detB=0? Se me ocurre decir que como B no es invertible entonces no puede representarse como un producto de matrices elementales, mientras que A sí, por lo que AB tampoco puede representarse como tal, pero eso me suena a mano.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $\det(A)=0$ Entonces, usted tiene $\det(A)\det(B) = 0 = \det(AB)$ Así que no hay nada que hacer. Así que todo lo que hay que hacer es considerar el caso en el que $A$ es invertible, es decir, donde $\det(A)\neq 0$ .

Para demostrar que el resultado es válido si $B$ no es invertible (no es necesario, pero lo preguntas) observa que si $B$ no es invertible, entonces tampoco lo es $AB$ (ya que existe una solución no trivial para $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$ y esta solución no trivial es también una solución no trivial de $AB\mathbf{x}=\mathbf{0}$ Así que $AB$ tampoco es invertible). Así que $\det(AB)=0$ y la igualdad se mantiene.

La clave del argumento que utiliza el libro es que si $A$ es invertible, entonces se puede escribir como un producto de matrices elementales: $A = E_1\cdots E_t$ . Estas matrices elementales corresponden a las operaciones elementales de fila realizadas para obtener rrefA (en el orden de los índices). Pero cuando se multiplica por la izquierda cualquier matriz por una matriz elemental, entonces se realiza la correspondiente operación elemental de fila en la matriz.

Ahora, ¿qué pasa si $A$ es sólo una matriz elemental, y se mira $\det(AB)$ ? Si $A$ es una matriz elemental que corresponde a un intercambio de filas, entonces $AB$ es el resultado de intercambiar las filas de $B$ Así que $\det(AB) = -\det(B)$ . Pero si $A$ es una matriz elemental que corresponde a un intercambio de filas, entonces $\det(A) = -1$ . Así que en este caso, $\det(AB) = -\det(B) = \det(A)\det(B)$ .

Si $A$ corresponde a la adición de un múltiplo de una fila a otra fila, entonces $\det(A)=1$ y $\det(AB) = \det(B) = \det(A)\det(B)$ .

Por último, si $A$ corresponde a multiplicar una fila por $k$ entonces $AB$ es el resultado de multiplicar una fila de $B$ por $k$ por lo que por las propiedades del determinante se tiene que $\det(AB) = k\det(B)$ pero de nuevo, $\det(A) = k$ Así que $\det(AB)=k\det(B)$ = \det (A) \det (B)$.

Así que el resultado funciona si $A$ es una matriz elemental.

Ahora bien, ¿cómo se $E_i$ corresponden a las operaciones que se realizan cuando se calcula la rref de $A$ ? Son los frente a de lo que hace para $A$ para obtener la rref: porque si $F_1,\ldots,F_t$ es lo que se hace para $A$ para obtener la rref de $A$ entonces $F_t\cdots F_1 A = I$ Así que $A = (F_t\cdots F_1)^{-1} = F_1^{-1}\cdots F_t^{-1}$ .

La inversa de una matriz elemental correspondiente a un intercambio de filas es una matriz elemental correspondiente a un intercambio de filas; la inversa de una matriz elemental correspondiente a la adición de un múltiplo de una fila a otra es una matriz elemental correspondiente a la adición de un múltiplo de una fila a otra; y la inversa de una matriz elemental que corresponde a dividiendo una fila por $k$ es la matriz elemental que corresponde a multiplicando una fila por $k$ .

Así que, para ver cómo $E_1$ , $E_2,\ldots,E_t$ afectan a $\det(B)$ cuando se calcula $\det(E_1\cdots E_tB)$ sólo tienes que llevar la cuenta de (i) el número de veces que intercambiaste las filas; y (ii) las constantes con las que dividiste las filas de $A$ para obtener la rref de $A$ . Cada intercambio de filas multiplica el determinante por $-1$ y dividiendo una fila de $A$ por $k$ multiplica el determinante por $k$ . Por lo tanto, si $s$ es el número de veces que ha intercambiado filas, y $k_1,\ldots,k_r$ son las constantes por las que se han dividido las filas de $A$ entonces $$\det(AB) = \det(E_1\cdots E_t B) = (-1)^sk_1\cdots k_r\det(B),$$ que es el paso con el que estabas teniendo problemas.

Espero que eso ayude.

Answer 2

En primer lugar, por si alguien, como yo, no conoce la abreviatura "rref": significa " forma escalonada reducida ".

La estructura de la prueba en el libro no está del todo clara en su exposición. Está claro que la primera parte supone que $A$ es invertible. (No has mencionado esa suposición.) No me queda muy claro si la primera parte también supone que $B$ es invertible. (Si no lo es, tu pregunta en la segunda parte no afectaría a la validez de la prueba).

I) A la primera parte de la pregunta ("¿Podría explicar la lógica de este paso?"):

a) Si suponemos que $B$ es invertible, podemos proceder como sigue: Dado que $\mathrm{rref}[A|AB]=[I_n|B]$ sabemos que aplicando operaciones de fila que transforman $A$ en forma de escalón reducido para $AB$ produce $B$ . Pero eso significa que cualquier operación de fila que realicemos para obtener $B$ en forma escalonada reducida, podemos realizar las mismas operaciones en $AB$ después de realizar por primera vez $s$ intercambios de filas y división de filas de $AB$ por el $k_i$ . Así, aplicando $\det(A)=(-1)^{s}k_{1}k_{2}...k_{r}$ a $AB$ vemos que este producto para $AB$ debe ser el producto correspondiente para $A$ multiplicado por el producto correspondiente para $B$ .

b) Si no asumimos que $B$ es invertible en la primera parte, creo que necesitamos un poco más de lo que has escrito. Por ejemplo, bastaría con saber cómo afectan las operaciones de fila al determinante, es decir, que un intercambio de filas multiplica el determinante por $-1$ dividiendo una fila por $k_i$ divide el determinante por $k_i$ y la adición de un múltiplo de una fila a otra fila deja el determinante sin cambios. Aplicando esto a $\mathrm{rref}[A|AB]=[I_n|B]$ se obtiene la ecuación deseada, ya que $AB$ se transforma en $B$ por $s$ intercambios de filas y divisiones por el $k_i$ .

II) A la segunda parte de la pregunta ("cómo demostraríamos que esta ecuación se cumple si B es no invertible"):

Como se ha mencionado, esto sólo es necesario si asumimos en la primera parte que $B$ es invertible.

Su prueba de "mano" me parece bien más explícita: Hemos tratado el caso en el que $A$ no es invertible. Por lo tanto, supongamos que $A$ es invertible. Entonces, si $AB$ fueran invertibles, eso nos permitiría expresar tanto $A$ y $AB$ como un producto de matrices elementales, lo que a su vez nos permitiría representar $B$ como tal producto, lo que no puede ser si $B$ no es invertible.

Otras formas de demostrar lo mismo serían: Si $A$ es invertible (asumido como arriba), podemos escribir $B=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)$ . Así que si $AB$ fueran invertibles, entonces $(AB)^{-1}A$ sería un inverso para $B$ , lo que no puede ser si $B$ no es invertible. O, en la misma línea de lo que hace el libro en el caso de que $A$ no es invertible: Si $B$ no es invertible, su núcleo no es vacío, pero el núcleo de $AB$ contiene el núcleo de $B$ y, por tanto, el núcleo de $AB$ no está vacío, y por lo tanto $AB$ no es invertible. (Nótese que aquí no tenemos que suponer que $A$ es invertible).