Independencia de sumas de variables aleatorias uniformes módulo 1

Question

Deje $U,V,W$ ser independientes $U(0,1)$ variables aleatorias. Quiero mostrar que \begin{align*} (U+V) \,\text{mod}\,1\quad\text{and}\quad (U+W) \,\text{mod}\,1 \end{align*} son independientes de las variables aleatorias, donde $\text{mod}\, 1$ denota el resto término cuando se divide por 1. Tengo tres sugerencias que no estoy seguro acerca de:

1. Método intuitivo. Es fácil ver que la distribución de $(U+W) \,\text{mod}\, 1$$U(0,1)$. Entonces, debido a la simetría, el valor de $(U+W)\,\text{mod}\, 1$ no contiene ninguna información sobre el valor de $U$, por lo que no contiene información acerca de la $(U+V)\,\text{mod}\, 1$, por lo que son independientes.

2. Me siento como debe ser una buena interpretación geométrica de este resultado, porque de la manera que $(U+V)\,\text{mod}\,1$ se envuelve alrededor de 1, lo que resulta en un $U(0,1)$ distribución.

3. Método de la fuerza bruta. En la condición de la variable aleatoria $U$: \begin{align*} & P((U+V) \,\text{mod}\,1\in[a,b] \, | \,(U+W) \,\text{mod}\,1\in[c,d])\\ = & \int_{u=0}^1P((u+V) \,\text{mod}\,1\in[a,b] \, | \,(u+W) \,\text{mod}\,1\in[c,d])du\\ = & \int_{u=0}^1P(u+V\in k_0+\alpha_0[a,b] \, | \, u+W \in k_1+\alpha_1[c,d])du\quad[k_i\in\{0,1\},\alpha_i\in(0,1)]\\ = & \int_{u=0}^1P(V\in k_0+\alpha_0[a,b]-u \, | \,W \in k_1+\alpha_1[c,d]-u)du\\ = & \int_{u=0}^1P(V\in k_0+\alpha_0[a,b]-u)du\quad [V\text{ and } W\text{ independent}]\\ = & \int_{u=0}^1P(u+V\,\text{mod}\, 1\in[a,b])du\\ = & P(U+V\,\text{mod}\, 1\in[a,b]). \end{align*} De esto se sigue que $(U+V)\,\text{mod}\, 1$ $(U+W)\,\text{mod}\, 1$ son independientes.

Answer 1

1. El método intuitivo es bueno. $(U+V\bmod 1)$ $(U+W\bmod 1)$ están uniformemente distribuidas variables aleatorias, $V,W$, que se han desplazado por el mismo uniformemente distribuida variable aleatoria, $U$, entonces tuvo el módulo de $1$ tomada (también de que $1$ es el tamaño del soporte de cada variable).

2. La interpretación geométrica es fácil, si usted puede imaginar envolver el espacio alrededor de un hypercylinder.

3. Para $0\leq \nu, \omega\leq 1$ sólo tenemos que considerar la articulación y marginales de la CDF. Si se demuestra la independencia por que, nos han demostrado que para cualquier intervalos.

El hecho clave es que si usted cambia y modular un intervalo dentro del soporte, el tamaño de la imagen sigue siendo la misma, y debido a $U, V,$ $W$ están uniformemente distribuidos, por lo que la probabilidad de medida es independiente de la rotación.

$$\begin{align}\mathsf P(U+V\bmod 1\leqslant\nu) &= {{\mathbf 1_{\nu\in[0;1]} \cdot\int_0^1\mathsf P(u+V\in[0;\nu]\cup[1;1+\nu])f_U(u)\mathop{d}u} + {\mathbf 1_{\nu\in(1;\infty)}}} \\[1ex]&= {{\mathbf 1_{\nu\in[0;1]} \cdot\int_0^1\mathsf P(V\in[0;\max(0,\nu-u)]\cup[1-u;\min(1,1+\nu-u)])f_U(u)\mathop{d}u} + {\mathbf 1_{\nu\in(1;\infty)}}} \\[1ex] &=~\nu\cdot\mathbf 1_{\nu\in[0;1]}+ \mathbf 1_{\nu\in(1;\infty)} \\[2ex] \mathsf P(U+W\bmod 1\leqslant \omega) ~&=~\omega\cdot\mathbf 1_{\omega\in[0;1]}+\mathbf 1_{\omega\in(1;\infty)} \\[2ex] \mathsf P(U+V\bmod 1\leqslant \nu, U+W\bmod 1\leqslant \omega)~&=~ {{\nu\omega\cdot\mathbf 1_{\nu\in[0;1],\omega\in[0;1]}}+{\nu\cdot\mathbf 1_{\nu\in[0;1], \omega\in(1;\infty)}}+{\omega\cdot\mathbf 1_{\nu\in(1;\infty), \omega\in[0;1]}}+{\mathbf 1_{\nu\in(1\infty),\omega\in(1;\infty)}}}\end{align}$$