Para$ax^2+bx+c$ pruebe que$|a|+|b|+|c|\leq 17$

Question

Deje que$ax^2+bx+c$ sea un polinomio cuadrático con coeficientes reales tales que$$|ax^2+bx+c| \leq 1,$ $

para $ 0\leq x\leq 1$. Demuestre que$$|a|+|b|+|c|\leq 17$ $

Cómo proceder en esta pregunta en particular. Lo siento, no puedo mostrar ningún trabajo porque realmente no entiendo cómo iniciar.

Answer 1

Sea$f(x) = ax^2 + bx + c$ Sabemos que $$ \ left | \ frac {a} 2 \ right | = | f (0) + f (1) - 2f (0.5) | = | [f (0) - f (0.5)] - [f (0.5) - f (1)] | \\ \ leq | f (0) - f (0.5) | + | f (0.5) - f (1) | \ leq 2 +2 = 4 $$ así que$|a| \leq 8$. Claramente, $|c| = |f(0)| \leq 1$. Eso deja $b$. Obtenemos $$ | b | = | 4f (0.5) - f (1) - 3f (0) | \ leq 3 | f (0.5) -f (0) | + | f (0.5) - f (1) | \ leq 3 \ cdot 2 + 2 = 8 $$ que es lo que necesitamos.

También vale la pena señalar que $$ f (x) = 8x ^ 2 - 8x + 1 $$ demuestra que$17$ es un límite estricto, por lo que no podemos hacerlo mejor.

Answer 2

Sugerencia: Deja que$P$ tu polinomio. Coloque$P(0)=u$,$P(1/2)=v$ y$P(1)=w$. Entonces$|u|, |v|, |w|$ son$\leq 1$. Encuentre$a,b,c$ en la función de$u,v,w$, y enciérralos.