¿Cómo resolver esta ecuación cuadrática multivariable?

Question

Cualquier esperanza para la adquisición de una solución analítica para tales ecuaciones:

Resolver: $$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j = b_i$$

para $i=1,\ldots,n$ donde $a_{ij}$'s y $b_i$'s son conocidos y constantes $x_i$'s son incógnitas que resolver.

Muchas gracias!

P. S. Gracias por alex.jordan interesante comentario! Vamos a considerar este problema en un ajuste positivo, es decir, vamos a requerir que todos los coeficientes de($a_{ij}$'s y $b_i$'s) a ser positivas, por lo que la solución no parece existir. También se $a$ es simétrica, es decir,$a_{ij}=a_{ji}$. Si hay algún rápida solución numérica es también útil.

P. S. Sólo para la información de todos los lectores: la forma original de este problema se formula como: $$ x_i\cdot\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\right) = \sum_{j=1}^n a_{ij}q_{ij} $$ where $q_{ij}\en(0, 1)$. I simplified the RHS into $b_{ij}$, pero ahora parece que mejor no hacerlo(lo siento por eso!!!) para al menos dar la existencia de soluciones reales para una mejor oportunidad.

Answer 1

No podía encajar esto en un comentario - no es una respuesta. Cada ecuación tiene una diferente forma cuadrática en su izquierda. Con $n=3$, aquí es lo que el sistema puede ser hecho para parecer como, por ejemplo:

$$ \begin{align} \vec{x}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}/2&a_{13}/2\\a_{12}/2&0&0\\a_{13}/2&0&0\end{bmatrix}\vec{x}&=b_1\\ \vec{x}^T\begin{bmatrix}0&a_{21}/2&0\\a_{21}/2&a_{22}&a_{23}/2\\0&a_{23}/2&0\end{bmatrix}\vec{x}&=b_2\\ \vec{x}^T\begin{bmatrix}0&0&a_{31}/2\\0&0&a_{32}/2\\a_{31}/2&a_{32}/2&a_{33}\end{bmatrix}\vec{x}&=b_3\\ \end{align} $$

En cada caso, pues las matrices son simétricas, la matriz es ortogonal) diagonalizable. Y generalmente tienen rango $2$ con un valor null-espacio de dimensión $n-2$. Tal vez esto puede ser explotado. Parece que, en general, no se $2^n$ soluciones contando multiplicidad, pero pueden ser soluciones complejas.

Answer 2

Como "todo a la vista es positivo", escriba su sistema en la forma$$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j={b_i\over x_i}\qquad(1\leq i\leq n)$ $ y use el método de Newton: Dada una solución aproximada$x=(x_1,\ldots, x_n)$ encuentre una mejor aproximación$x+\Delta$ resolviendo$$\sum_{j=1}^n a_{ij} (x_j+\Delta_j)={b_i\over x_i+\Delta_i}\doteq{b_i\over x_i}\left(1-{\Delta_i\over x_i}\right)\qquad(1\leq i\leq n) $ $ por$\Delta$. Esto significa resolver el sistema lineal$$\sum_{j=1}^n \left(a_{ij}+\delta_{ij}{b_i\over x_i^2}\right)\>\Delta_j={b_i\over x_i} -\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\qquad(1\leq i\leq n)$ $ para el$\Delta_j$.

Answer 3

Deje $A=\left( a_{ij} \right)_{n \times n} $, $B=\mathrm{diag}\{b_1, b_2, \cdots, b_n\}=\begin{pmatrix} b_1 \\ & \ddots \\ & & b_n \end{pmatrix}$, $C=A^{-1}B$.

Hay una posible solución numérica al $A$ es invertible y $b_i\neq 0$ ($i$ = 1, 2, $\cdots$, $n$ ).

A partir de las condiciones, el resultado será

$$ \begin{pmatrix} x_1 a_{11} & \cdots & x_1 a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n a_{n1} & \cdots & x_n a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}. $$ o $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ & \ddots \\ & & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}. $$ Como $\sum\limits _{j=1} ^n a_{ij} x_i x_j=b_i$, es decir, $x_i \sum\limits _{j=1} ^n a_{ij} x_j=b_i$, ya que el $b_i \neq 0$,$x_i \neq 0$. así $$ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^{-1} \\ & \ddots \\ & & x_n^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ & \ddots \\ & & b_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 ^{-1} \\ \vdots \\ x_n^{-1} \end{pmatrix}. $$

Como $A=\left( a_{ij} \right)_{n \times n} $, $B=\mathrm{diag}\{b_1, b_2, \cdots, b_n\}=\begin{pmatrix} b_1 \\ & \ddots \\ & & b_n \end{pmatrix}$, $C=A^{-1}B$, entonces $$ A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} x_1 ^{-1} \\ \vdots \\ x_n^{-1} \end{pmatrix}, $$ así

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = A^{-1} B \begin{pmatrix} x_1 ^{-1} \\ \vdots \\ x_n^{-1} \end{pmatrix}, $$ es decir,

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = C \begin{pmatrix} x_1 ^{-1} \\ \vdots \\ x_n^{-1} \end{pmatrix}. $$

Vamos $ \begin{pmatrix} x_1^{(0)} \\ \vdots \\ x_n^{(0)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$,
por la recurrencia $$ \begin{pmatrix} x_1^{(k+1)} \\ \vdots \\ x_n^{(k+1)} \end{pmatrix} = C \begin{pmatrix} {\left(x_1^{(k)}\right)} ^{-1} \\ \vdots \\ {\left(x_n^{(k)}\right)}^{-1}, \end{pmatrix}, $$ podemos obtener una solución numérica.

Si el resultado no converge, podemos usar otro $$ \begin{pmatrix} {\left(x_1^{(k+1)}\right)} ^{-1} \\ \vdots \\ {\left(x_n^{(k+1)}\right)}^{-1}, \end{pmatrix} = C^{-1} \begin{pmatrix} x_1^{(k)} \\ \vdots \\ x_n^{(k)} \end{pmatrix}. $$

Si desea que la solución analítica, usted puede tener una oportunidad por el uso de la Groebner-Shirshov Bases. (El software Maple o Mathematica puede hacerlo.) Pero no estoy seguro de la solución analítica se puede encontrar fácilmente.