Ideales máximos en el anillo de secuencias eventualmente constantes de números reales

Question

Para hacer la tarea, estoy estudiando el anillo de $R$ el tiempo de constante secuencias de números reales (con la multiplicación y la suma de las componentes definidas).

¿Cuáles son los máximos ideales de la $R$?

Mirando surjective homomorphisms es fácil encontrar la máxima ideales, pero no he sido capaz de dar una caracterización exhaustiva. A continuación son los máximos ideales que han identificado.

Deje $s$ ser alguna secuencia en $R$. Denotar por $\bar{s}$ el número real a la que $s$ converge y se denotan por $s_i$ $i$- ésimo elemento en $s$.

Para cada una de las $i \in \mathbb{N}$ definir la homomorphism $$\varphi_i \colon R \to \mathbb{R}$$ que los mapas de $s$ a $s_i$. $\varphi_i$ es surjective por lo que su núcleo es un ideal maximal. El núcleo de $\varphi_i$ es el ideal de secuencias con $i$-ésimo componente de cero.

También definir el homomorphism $$\varphi \colon R \to \mathbb{R}$$ que los mapas de $s$ a $\bar{s}$. $\varphi$ también es surjective y su núcleo es el ideal de secuencias que converge a 0. La asignación de $s$ $\bar{s} - r$ $r\in \mathbb{R}$parece más rendimiento máximo ideales.

Hay otros y cómo puedo demostrar que no hay otros ideales que una vez me he encontrado todos los ideales?

Gracias

Answer 1

Creo que he encontrado a todos ellos. Vamos a llamar a $\mathfrak m_i$ el ideal de la $s$$s_i = 0$$\mathfrak m_\infty$$s$$\overline s = 0$. Lo que quiero hacer es asumir que usted tiene un máximo de $\mathfrak m$ tal que $\mathfrak m \neq \mathfrak m_i$ para cualquier finito $i$ y, a continuación, mostrar que esto implica $\mathfrak m = \mathfrak m_\infty$.

Deje $e_i$ ser la secuencia con un $1$$i^\text{th}$, de posición y de cero en otro lugar. Si $\mathfrak m \neq \mathfrak m_i$, entonces hay un elemento en el $\mathfrak m$ que tiene un $a \neq 0$ $i^\text{th}$ posición. Multiplique ese elemento por $\frac1a e_i$ a conseguir ese $e_i$ $\mathfrak m$ todos los $i$.

Ahora suponga $\mathfrak m$ contiene un $s$ tal que $\overline s \neq 0$. El uso de la $e_i$ a mostrar que esto implicaría que $1 \in \mathfrak m$.

Edit: Como rschwieb sugiere, también se puede observar que un elemento es una unidad iff es distinto de cero en cada punto de la secuencia, por lo que también se puede demostrar que hay una unidad en $\mathfrak m$ en lugar de saltar directamente a mostrar que la $1 \in \mathfrak m$.