SO (2,1) no conectado

Question

Estoy tratando de mostrar que$SO(2,1)$ no está conectado, pero no tengo idea de por dónde empezar realmente, sé que está conectado si hay una ruta entre dos puntos. Mi definición de$SO(2,1)$ es:

$SO(2,1)=\{X\in Mat_3(\mathbb{R}) \mid X^t\eta X=\eta, \ \det(X)=1\}$ donde$\eta$ es la matriz definida como:$$\left ( \begin{array}{ccc} 1 &0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right )$ $

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Considere la órbita del vector$(0,0,1)$ debajo de$SO(2,1)$; usted debe encontrar que está desconectado (tenga en cuenta que hay elementos de$SO(2,1)$ que mapean$(0,0,1)$ a sí mismo, o para$(0,0,-1)$, y luego demuestran que no se puede asignar a cualquier vector$(a,b,0)$). Entonces, esto nos da un mapa continuo de$SO(2,1)$ a un espacio desconectado, lo que implica que$SO(2,1)$ está desconectado.

Answer 2

Considere la posibilidad de la acción transitiva de $O(2,1)$ $N_{-1}= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2-z^2=-1 \}$ por la izquierda de la multiplicación. Para algunos $x \in N_{-1}$, se obtiene un continuo surjection $$\left\{ \begin{array}{ccc} O(2,1) & \to & N_{-1} \\ M & \mapsto & M \cdot x \end{array} \right. .$$

Así que usted ha $SO(2,1) \hookrightarrow O(2,1) \twoheadrightarrow N_{-1}$. Pero $N_{-1}$ es un dos-toldo hyperboloid, y la imagen de $SO(2,1)$ $N_{-1}$ no está contenida en una hoja de $N_{-1}$ desde $\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right)$.

Porque una imagen continua de un conjunto conectado está conectado, $SO(2,1)$ tiene al menos dos componentes conectados.

De hecho, se puede demostrar que el componente conectado de $SO(p,q)$ contiene $\operatorname{Id}$ $$SO_0(p,q)= \left\{ \left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right) \in SO(p,q) \mid A \in GL_p(\mathbb{R}), \ \det(A) >0 \right\}.$$

Por lo tanto, $SO(p,q)$ está conectado iff $p=0$ o $q=0$.