Caracterización del marco Parseval

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert, y sea $e_j\in H$ por cada $j\in\mathbb N$ .

¿Es posible demostrar que

$$\left\|f\right\|^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\langle f,e_j\rangle\right|^2\text{ for every }f\in H\text{ if and only if }f=\sum_{j=1}^\infty\langle f,e_j\rangle e_j\text{ for every }f\in H\tag*{?}$$

Tengo la sensación de que necesitamos $e_j\perp e_k$ si $j\neq k$ .

Answer 1

Para la implicación inversa ver esta respuesta .

Tenga en cuenta que la ortogonalidad no es necesaria para un marco Parseval.

Supongamos que $\|f\|^2=\sum_j|\langle f,e_j\rangle|^2$ para todos $f$ . Dado $m>n$ , \begin{align} \Big\|\sum_{j=1}^m\langle f,e_j\rangle\,e_j-\sum_{j=1}^n\langle f,e_j\rangle e_j\Big\|^2 &=\Big\|\sum_{j=n+1}^m\langle f,e_j\rangle e_j\Big\|^2\\[0.3cm] &=\sup\Big\{\Big|\Big\langle\sum_{j=n+1}^m\langle f,e_j\rangle e_j,h\Big\rangle\Big|:\ \|h\|=1\Big\}\\[0.3cm] &=\sup\Big\{\Big|\sum_{j=n+1}^m\Big\langle\langle f,e_j\rangle e_j,h\Big\rangle\Big|:\ \|h\|=1\Big\}\\[0.3cm] &\leq\sup\Big\{\sum_{j=n+1}^m|\langle f,e_j\rangle\,\langle e_j,h\rangle|:\ \|h\|=1\Big\}\\[0.3cm] &\leq\bigg(\sum_{j=n+1}^m|\langle f,e_j\rangle|^2\bigg)^{1/2} \sup\Big\{\bigg(\sum_{j=n+1}^m|\langle e_j,h\rangle|^2\bigg)^{1/2}:\ \|h\|=1\Big\}\\[0.3cm] &\leq\bigg(\sum_{j=n+1}^m|\langle f,e_j\rangle|^2\bigg)^{1/2} \sup\Big\{\bigg(\sum_{j=1}^\infty|\langle e_j,h\rangle|^2\bigg)^{1/2}:\ \|h\|=1\Big\}\\[0.3cm] &=\bigg(\sum_{j=n+1}^m|\langle f,e_j\rangle|^2\bigg)^{1/2}. \end{align} La convergencia de $\sum_j|\langle f,e_j\rangle|^2$ garantiza que la última serie puede hacerse arbitrariamente pequeña si $m$ y $n$ son lo suficientemente grandes. Así que $$ \sum_j\langle f,e_j\rangle e_j $$ existe. Ahora tenemos que demostrar que es igual a $f$ . Necesitaremos la identidad de polarización $$ \langle f,g\rangle=\tfrac14\,\sum_{k=0}^3i^k\|f+i^kg\|^2, $$ y también el caso particular a los números complejos, $$ z\overline w=\tfrac14\,\sum_{k=0}^3i^k|z+i^kw|^2. $$ Tenemos \begin{align} \langle f,g\rangle&=\tfrac14\,\sum_{k=0}^3i^k\|f+i^kg\|^2 =\tfrac14\,\sum_{k=0}^3i^k\sum_j|\langle f+i^kg,e_j\rangle|^2\\[0.3cm] &=\sum_j\tfrac14\,\sum_{k=0}^3i^k|\langle f,e_j\rangle+i^k\langle g,e_j\rangle|^2\\[0.3cm] &=\sum_j\langle f,e_j\rangle\langle e_j,g\rangle. \end{align} Entonces \begin{align} \Big\langle f-\sum_j\langle f,e_j\rangle e_j,g\Big\rangle &=\langle f,g\rangle-\sum_j\langle f,e_j\rangle\langle e_j,g\rangle=0. \end{align} Como esto se puede hacer para cualquier $g$ se deduce que $$ f=\sum_j\langle f,e_j\rangle e_j. $$

Answer 2

No, no es necesario asumir la ortogonalidad. La afirmación se hace más clara en términos de operador de análisis (también conocido como operador de Bessel) $$ Af = (\langle f, e_j\rangle)_j $$ y el operador de síntesis (también conocido como operador de reconstrucción) $$ S(c_j) = \sum_j c_j e_j $$

La afirmación es que $SA=I$ si y sólo si $A$ es una isometría en $\ell^2$ .

Prueba o $\impliedby$ . Supongamos que $A$ es una isometría en $\ell^2$ . Entonces su adjunto $A^*$ es un operador acotado de $\ell^2$ a $H$ lo que concuerda con $S$ porque $$\langle Af, x\rangle_{\ell^2} =\sum_j \langle f, e_j\rangle_H \overline{x_j} = \left\langle f, \sum_j x_je_j\right\rangle_H = \langle f, Sx\rangle_H $$ Por la identidad de polarización, $\langle Af, Ag\rangle_{\ell^2} = \langle f, g\rangle_H $ para todos $f,g\in H$ . Por lo tanto, $\langle A^*Af, g\rangle_H = \langle f, g\rangle_H $ para todos $f,g\in H$ , lo que implica $A^*A=I$ . Desde $A^*=S$ concluimos que $SA=I$ .

Prueba de $\implies$ . Aquí tengo que suponer que $A$ es un operador acotado en $\ell^2$ Puede que sea posible eliminar esta suposición, pero no veo cómo; en cualquier caso, es estándar en la teoría de marcos. Como en el caso anterior, tenemos $S=A^*$ . Desde $SA=I$ se deduce que $A*Af=f$ por cada $f\in H$ Por lo tanto $$ \|Af\|^2 = \langle Af, Af\rangle_{\ell^2} = \langle A^*Af, f\rangle_H = \langle f, f\rangle _H = \|f\|^2 $$ como se desee.

Answer 3

Si $(e_j)$ es una secuencia en $H$ con $<e_j,e_k>=\delta_{jk}$ entonces tenemos..:

$(e_j)$ es una base ortonormal de $H$ $ \iff$

$\left\|f\right\|^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\langle f,e_j\rangle\right|^2\text{ for every }f\in H \iff\sum_{j=1}^\infty\langle f,e_j\rangle e_j\text{ for every }f\in H\tag*{}$