Prueba de$n^{1/n} - 1 \le \sqrt{\frac 2n}$ por inducción usando fórmula binomial

Question

Usando$$(a+b)^{n} = \sum_{i=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{K}$ $

Pruebalo

$$n^{1/n} - 1 \le \sqrt{\frac 2n}$ $ para n = 2,3,4 ....

Sé que el primer paso es establecer$$ n^{\frac 1n} = 1 + x $ $ para algunos x> 0 y luego elevar ambos lados a la n, pero después de eso estoy perdido.

Answer 1

Si$x=n^{1/n}-1$, entonces$n=(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots\ge 1+\frac{n(n-1)}{2} x^2$ para$n\ge 2$.

Entonces $n-1\ge \frac{n(n-1)}{2} x^2\implies 1\ge \frac{n}{2}x^2\implies x^2\le\frac{2}{n}\implies x\le\sqrt{\frac{2}{n}}$

Answer 2

Veamos$(1+\sqrt\frac{2}{n})^n=1+n\sqrt\frac{2}{n}+\frac{n(n-1)}{2}\frac{2}{n}+\text{more positive terms}= 1+(n-1)+n\sqrt\frac{2}{n}+...\geq n$, ahora tome la raíz$n^{th}$ de ambos lados y obtendrá los resultados deseados.

Dos comentarios: esto supone implícitamente que$n>2$, pero simplemente puede verificar$n<2$. No utilicé la inducción. ¿Está obligado a usar la inducción o fue su opinión de que esta es la forma de abordar este problema?

Answer 3

Aquí hay un mejor resultado, obtenido por medios elementales.

Por la desigualdad de Bernoulli, $ (1 + n ^ {- 1 +1 / k}) ^ n \ ge 1 + n ^ {1 / k}> n ^ {1 / k} $.

Subiendo al$k/n$ de potencia, $ n ^ {1 / n} <(1 + n ^ {- 1 +1 / k}) ^ k $.

Si es$k = 3$, este límite es $ (1 + n ^ {- 2/3}) ^ 3 = 1 +3n ^ {- 2/3} +3n ^ {- 4/3} + n ^ {- 2} <1 +7n ^ {- 2/3} $.

Extendiendo esto, he demostrado que$n^{1/n} < 1+2kn^{–1+1/k}$ para$n>k^{k/(k-1)}$.