La cubierta universal del grupo multiplicativo sobre el campo de los números algebraicos

Question

Dejemos que $X=\mathbf{A}^1_{\overline{\mathbf{Q}}}-\{0\} = \mathbf{G}_{m,\overline{\mathbf{Q}}}$ sea el multiplicativo sobre el campo de los números algebraicos. Cada cubierta etale finita $Y\to X$ (con $Y$ conectado) es isomorfo al morfismo etale finito $X\to X$ dado por $z\mapsto z^n$ para algunos $n\geq 1$ .

El espacio de cobertura universal $\widetilde{X}$ de $X$ es el límite proyectivo sobre todas las cubiertas etale finitas de $X$ . No es un esquema. (Si $\widetilde{X}$ fuera un esquema, el "morfismo" $\widetilde{X}\to X$ sería un morfismo etale con fibras no finitas. Eso no es posible).

¿Está dotado de un morfismo $\widetilde{X}\to X$ ? ¿En qué categoría debo considerar este "morfismo"?

¿Podemos describir $\widetilde{X}$ un poco más explícito utilizando la descripción anterior de todas las cubiertas etale finitas de $X$ ?

Answer 1

Se puede formar el límite proyectivo $\tilde{X}$ en la categoría de esquemas sin ningún problema; es Spec $\overline{\mathbb Q}(\{z^{1/n}\}_{n \geq 1})$ . No es de tipo finito sobre $X$ y así en particular no es etale, pero ¿y qué? No hay ningún teorema que diga que un límite proyectivo de mapas etale finitos sea etale.