Si $\int_0^x f \ dm$ es cero por todas partes entonces $f$ es cero casi por todas partes

Question

He estado pensando acerca de un problema por algún tiempo ahora. Es inspirado por un examen problema que he resuelto pero yo quería encontrar una solución alternativa. El objeto era demostrar que algunos de secuencia de funciones converge débilmente a cero en $L^2$.

Me las arreglé para mostrar (con algo de ayuda) que el límite de $f$ (de una larga) satisface $\int_0^x f \ dm=0$ todos los $x>0 $. A partir de esto quiero concluir que $f=0$.e. Puedo hacer esto con el teorema fundamental del cálculo en su Lebesgue versión, pero no debe ser una más elementales de la prueba.

Puede alguien aquí que me ayude?

Answer 1

En efecto, como era de esperar, una simple prueba de que el resultado puede ser encontrado; véase el Teorema 2.1 en esta nota útil en absolutamente funciones continuas.

EDIT: Ya que este es un resultado importante, que vale la pena dar aquí la prueba en detalle. La prueba a continuación es esencialmente la que se indica en el enlace de arriba, pero algo más corto.

Teorema. Si $f$ es integrable en a $[a, b]$ y $\int_a^x {f(t){\rm d}t} = 0$ $\forall x \in [a,b]$, a continuación,$f = 0$.e. en $[a, b]$.

Prueba. Un subconjunto abierto $O$ $[a,b]$ es una contables de la unión de abiertos disjuntos intervalos de $(c_n, d_n)$; por lo tanto, $\int_O {f(t){\rm d}t} = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\int_{c_n }^{d_n } {f(t){\rm d}t} } = 0$.
Si $K$ es un subconjunto cerrado de $[a,b]$, se deduce pues que la $\int_K {f(t){\rm }{\rm d}t} = 0$ (tenga en cuenta que $[a,b]$ es distinto de la unión de $K$$[a,b]\backslash K$, $[a,b]\backslash K$ es abierto). La próxima vamos a $E_ + = \{ x \in [a,b]:f(x) > 0\}$ $E_ - = \{ x \in [a,b]:f(x) < 0\}$ . Si $\lambda(E_+) > 0$, entonces existe algún conjunto cerrado $K \subset E_+$ tal que $\lambda(K) > 0$. Pero $\int_K {f(t){\rm d}t} = 0$, por lo tanto $f=0$.e. en $K$. Esta contradicción muestra que $\lambda(E_+) = 0$. Del mismo modo, $\lambda(E_-) = 0$. El teorema es así establecidos.

Answer 2

Es suficiente para demostrar que $f$ es cero en casi todas partes en cualquier intervalo acotado.

(1) Por la aditividad es fácil ver que $$\int_a^bf(x)dx=\int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx$$ for all bounded intervals $(a,b)$ (and also for $[a,b)$, $(a,b]$ and $[a,b]$).

(2) Usar (1) es fácil ver que $$\int_Bf(x)dx=0$$ para cualquier delimitada Borel medible conjunto.

(3) Cualquier Lebesgue medibles set $A$ es de la forma $A=B\cup Z$ donde $B$ es Borel medible conjunto y $Z$ es un conjunto de medida cero. Por lo tanto, por (2) vamos a lograr $$\int_A f(x)dx= 0$$ para cualquiera limitada Lebesgue medibles set $A$.

(4) Ahora mira a los conjuntos de $A_+(n)=\{x:f(x)>0\}\cap[-n,n]$$A_-(n)=[-n,n]\setminus A_+(n)$. Asumiendo $f$ es medible estos conjuntos también son medibles y por (3) $$\int_{A_\pm(n)}f(x)dx=0$$ EDIT: y por lo tanto, $f=0$ en casi todas partes.

Por favor, perdóname si yo escribo $dx$ para la medida de Lebesgue, que supongo que es a lo que te refieres como $dm$.

Answer 3

Creo que se puede utilizar Dynkin del lema (si se llama a este "más elementales").

Deja D ser la de todos los conjuntos medibles $U\subseteq I=[0,1]$ tal que $\intop_U f(t) = 0$ (la función de $f\mid_I$$L_2$, por lo que es también en $L_1$, así que supongo que esto a partir de ahora). $I\in D$ e si $A\subseteq B\subseteq I$$D$$B-A \in D$. Si $A_i \subseteq I$ es un aumento de la secuencia en la D, $\bigcup A_i \subseteq I$ también está en D (DCT). Esto demuestra que D es un sistema de Dynkin.

Sea P todos los intervalos abiertos en me (para $P\subseteq D$). P es no vacío y una intersección de dos intervalos son abiertos, por lo que P es cerrado bajo intersección finita, por lo tanto es un sistema de pi.

Dynkin del lema dice que si P es un sistema de pi e D a dynkin sistema tal que $P\subseteq D$$\sigma(P)\subseteq D$. El sigma álgebra generada por P es el álgebra de Borel.

Ahora mira en el set $A=\{x\in I \mid f(x)\geq 0\}$. Este es un Lebesgue medibles conjunto, por lo que hasta un cero de la medida es Borel medible set $A'$. Desde $\intop_{A'} f(t) = 0$ y f es no negativa, entonces f es cero casi todos los lugares, en Un'. El mismo argumento funciona para cuando f<0, entonces se obtiene que f es cero en casi todas partes en $I$. Ahora haz esto para todos los de $n+I,\;n\in \mathbb{Z}$.

Answer 4

Creo que aquí es un elemental de la prueba (si están dispuestos a llamar teorema de convergencia dominada primaria).

Primero un lema:

Lema: vamos a $\displaystyle A$ ser un acotado medible conjunto y deje $\displaystyle f \in L(A)$. Si $A_n \subset A$ es una secuencia de conjuntos medibles tales que

$$ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \dots$$

y $$\lim_{n \to \infty} m(A_n) = 0$$

entonces

$$\lim_{n \to \infty} \int_{A_n} f \ \text{dm} = 0$$

($\displaystyle m(T)$ es la medida de lebesgue de $\displaystyle T$).

Prueba:

Es bien sabido (y tiene una primaria de la prueba) que $\displaystyle X = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ es medible y $\displaystyle m(X) = \lim_{n \to \infty} m(A_n) = 0$.

Ahora definir una secuencia de (summable) funciones

$\displaystyle f_n(x) = \begin{cases} 2 f(x) & x \in A_n \\ f(x) & \text{otherwise} \end{casos}$

Ahora $\displaystyle |f_n(x)| \le |2f(x)|$ $f_n \to f$ en casi todas partes.

El conjunto de puntos de $\displaystyle S$ donde $f_n(x) \to f(x)$ no es cierto, satisface $\displaystyle S \subset X$, por lo que es medible y $\displaystyle m(S) = 0$.

Por el teorema de convergencia dominada tenemos que

$$\lim_{n \to \infty} \int_{A} f_n = \int_{A} f$$

Pero tenemos que

$$\int_{A} f_n = \int_{A} f + \int_{A_n} f$$

Así

$$\lim_{n \to \infty} \int_{A_n} f = 0$$

$\displaystyle \circ$

Tenga en cuenta que si $\displaystyle f$ fue acotada, entonces existe una forma mucho más simple prueba del lema anterior, que no hace uso del teorema de convergencia dominada.

Ahora, volviendo al problema original.

Deje $\displaystyle P_n = \{ x : f(x) \ge \frac{1}{n} \}$.

Si el conjunto de $\displaystyle P = \{x : f(x) \gt 0\} = \bigcup P_n$ es de medida positiva, entonces existe un $\displaystyle n$ que $\displaystyle m(P_n) \gt 0$. Ahora si $\displaystyle P_n$ es ilimitado, hay algunos $\displaystyle M$ que $\displaystyle m(P_n \cap [M, M+1]) \gt 0$. Llamar a ese conjunto de $\displaystyle A$.

Observe que $\displaystyle \int_{A} f \ge \frac{m(A)}{n} \gt 0$.

Ahora dan un entero $\displaystyle k \gt 0$, existe un conjunto abierto $\displaystyle G_k \supset A$ tal que $\displaystyle m(G_k-A) \lt \frac{1}{k}$.

Tenga en cuenta que podemos elegir el $\displaystyle G_i$ tal que $\displaystyle G_1 \supset G_2 \supset G_3 \supset \dots$, tomando $\displaystyle G'_k = \bigcap_{i = 1}^{k} G_i$.

Ahora la secuencia de conjuntos de $\displaystyle A_k = G'_k -A$ cumple las condiciones del lema anterior,

también tenemos

$$\int_{G'_k} f = \int_{A} f + \int_{A_k} f$$

Ahora desde $\displaystyle G'_{k}$ es una contables de la unión de intervalos, tenemos que $\displaystyle \int_{G'_k} f = 0$, ya que durante cada intervalo, la integral de $\displaystyle f$$\displaystyle 0$.

Así

$$\int_{A} f + \int_{A_k} f = 0$$

Tomando límites, y aplicando el lema anterior, tenemos

$$\int_{A} f = 0$$

Una contradicción. Del mismo modo, podemos mostrar que el conjunto negativo de $\displaystyle f$ es de medida $\displaystyle 0$ (o simplemente considerar $\displaystyle -f$).

Por lo tanto $\displaystyle f = 0 \ \text{a.e}$

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Nota: Dado que esta respuesta resulta casi dos afirmaciones hechas por otras respuestas, estoy incluyendo un croquis de la prueba de los que están aquí:

Reivindicación 1) Para cualquier conjunto medible $\displaystyle A$, hay un Conjunto de Borel $\displaystyle B \supset A$ tal que $\displaystyle m(B) = m(A)$.

Para una prueba de que, considerar la $\displaystyle G'_{k}$ por encima. $\displaystyle B = \bigcap_{k=1}^{\infty} G'_{k}$ es un conjunto de Borel tal que $\displaystyle m(B) = m(A)$$\displaystyle m(B) = \lim_{k \to \infty} m(G'_{k}) = m(A)$.

La reivindicación 2) Por $\displaystyle f$ en el problema, para cualquier conjunto de Borel $\displaystyle B$, $\displaystyle \int_{B} f = 0$.

La prueba anterior muestra que para cualquier conjunto medible $\displaystyle E$, $\displaystyle \int_{E} f = 0$.

Answer 5

Si $F(x)=\int_0^x f(t) dt=0$ en todas partes, entonces el $F'(x)=0$ % todos $x$. Puesto que es localmente integrable, $f$ $F'(x)=f(x)$ casi en todas partes. Por lo tanto, $f(x)=0$ casi en todas partes.